Родился 2 февраля 1966 г. в г. Селидово Донецкой области Украины (ныне Донецкая Народная Республика РФ).
В 1988 г. окончил Харьковский юридический институт им. Ф. Э. Дзержинского (ныне Национальный юридический университет им. Ярослава Мудрого).
В 1988-1996 гг. работал в правоохранительных органах Донецкой области, был следователем, дежурным, старшим оперуполномоченным уголовного розыска Селидовского горотдела внутренних дел.
Затем возглавлял юридическую службу Металлургической инвестиционной компании ("Миком"), был директором Центра антикризисного управления, заместителем генерального директора компании "Инвестиционно-промышленный союз". Занимал должность заместителя генерального директора ЗАО "Укринпро".
После госпереворота на Украине в феврале 2014 г. население юго-восточных областей страны, в основном русскоязычное, отказалось поддерживать политику новых властей. Весной 2014 г. на территории Донецкой области была провозглашена Донецкая Народная Республика (ДНР).
После образования ДНР Александр Ананченко возглавлял управление стратегии развития промышленности администрации главы республики Александра Захарченко.
Был директором филиала ЗАО "Вторшахтмет-1" (с. Кривец Курской области РФ), советником руководителя ЗАО "Внешторгсервис" Сергея Курченко.
С 7 сентября 2018 г. исполнял обязанности вице-премьера правительства ДНР, курировал блок анализа и стратегического развития.
С 18 октября по 1 декабря 2018 г. - исполняющий обязанности председателя Совета министров ДНР.
В 2018-2022 гг. - председатель правительства Донецкой Народной Республики. Был назначен 1 декабря 2018 г. указом главы ДНР Дениса Пушилина. После вхождения республики 30 сентября 2022 г. в состав РФ на правах субъекта Федерации продолжил руководить правительством ДНР. Исполнял полномочия до 8 июня 2022 г.
Затем занимал пост советника председателя правительства Донецкой Народной Республики.
В 2022 г. получил мандат депутата Народного совета (парламента) ДНР второго созыва от общественного движения "Донецкая Республика".
В 2022-2023 гг. - член Совета Федерации РФ (сенатор) от ДНР. 20 декабря 2022 г. Народный совет ДНР наделил Александра Ананченко полномочиями сенатора - представителя от законодательной власти Донецкой Народной Республики. В сентябре 2023 г. в Совфеде его сменил Александр Волошин.