Родился 27 ноября 1840 г. в гор. Болхове Орловской губернии (ныне Орловская обл.) в небогатой дворянской семье. Отец - Николай Федорович Апухтин - в молодости проходил службу в Екатеринославском кирасирском полку, 2-й Кирасирской дивизии, 1-м резервном Кавалерийском корпусе, вышел в отставку в 1835 г. в звании майора, после чего стал уездным судьей в Болхове. Мать - Мария Андреевна, урожденная Желябужская. Детство Алексей Апухтин провел в родовом имении отца - Павлодаре, расположенном на границе Калужской и Орловской губерний.
Под влиянием матери с детства увлекался поэзией, свое первое стихотворение написал в девять лет.
В 1852 г. поступил в петербургское Императорское училище правоведения, где спустя год познакомился и подружился с будущим композитором Петром Чайковским.
В годы учебы продолжил писать стихи, входил в состав редакции "Училищного вестника". В 1854-1855 гг. по протекции директора училища генерал-лейтенанта Александра Языкова в газете "Русский инвалид" были напечатаны стихотворения Апухтина "Эпаминонд", посвященное погибшему при обороне Севастополя вице-адмиралу Владимиру Корнилову, и "Подражание арабскому".
Алексей Апухтин пробовал себя в разных жанрах (элегия, послание, ода, стихотворные переводы), его поэтический стиль складывался под влиянием Михаила Лермонтова, Василия Жуковского и др. Однако наиболее сильное влияние на молодого поэта оказало творчество Александра Пушкина, из-за подражания которому в училище Апухтина называли "вторым Пушкиным".
В 1850-е гг. он близко познакомился с такими известными литераторами, как Афанасий Фет, Иван Тургенев.
В 1859 г. Алексей Апухтин окончил Императорское училище правоведения с золотой медалью и поступил на службу в 1-е отделение Департамента Министерства юстиции, где также служил Петр Чайковский. В том же году умерла мать поэта, памяти которой он посвятил стихотворения "Какое горе ждет меня?", "Еще свежа твоя могила" и др.
В 1859-1861 гг. публиковался в журнале "Современник" под редакцией известного поэта и публициста Николая Некрасова. Поэт дебютировал в "Современнике" циклом "Деревенские очерки", получившим одобрение критиков и принесшим Апухтину известность "второго Некрасова". В 1860-1862 гг. пародии и эпиграммы Апухтина под псевдонимом Сысой Сысоев печатал также журнал "Гудок" и другие издания демократического толка.
Алексей Апухтин числился на службе в Министерстве юстиции несколько лет, в 1863 г. ему был присвоен чин коллежского асессора. Однако фактически на службе он не появлялся, предпочитая вести праздную светскую жизнь.
В 1862 г. поэт уехал в отпуск в Орловскую губернию и остался там в родовом имении. В 1863-1865 гг. числился старшим чиновником особых поручений при губернаторе Николае Левашове.
Алексей Апухтин отошел от общественно-литературной деятельности, почти перестал публиковаться. Он отказался участвовать в развернувшейся в 1860-х гг. полемике между разночинцами и сторонниками "чистого искусства". Поэт предпочел отмежеваться от любых литературных направлений и стал называть себя "дилетантом" в литературе. В письме Петру Чайковскому Апухтин писал, что "теперь никакие силы не заставят меня выйти на арену, загроможденную подлостями, доносами и семинаристами (разночинцами)". Занимался изучением творчества Пушкина, выступал с лекциями о нем в пользу учреждаемого в г. Орле благотворительного общества.
В 1864 г. вернулся в Петербург. Служил чиновником Министерства внутренних дел, однако значительную часть времени продолжал посвящать светской жизни.
С середины 1860-х и до конца 1870-х гг. Апухтин продолжал писать только для ближайшего окружения, его произведения выходили в рукописных сборниках.
В начале 1880-х гг. поэт вернулся к публичной деятельности. С 1884 г. его произведения стали печатать издания "Вестник Европы", "Русская мысль", "Северный вестник" (поэмы стихотворения "Письмо", "Старая цыганка", "Венеция", "В убогом рубище" и др.). В 1885 г. выступил перед публикой с поэмой "Год в монастыре", которая принесла поэту признание и успех. В 1886 г. вышел первый сборник произведений Алексея Апухтина, который был трижды переиздан при жизни автора.
В 1880-х гг. он сблизился с великим князем Константином Константиновичем, несколько раз читал стихи в присутствии императора Александра III.
Был одним из инициаторов установки в Москве памятника Александру Пушкину, участвовал в сборе средств на его сооружение. Однако не был приглашен на торжественное открытие памятника 18 июня 1880 г., что воспринял очень болезненно.
В последние годы жизни работал над прозаическими произведениями: повестями "Дневник Павлика Дольского", "Архив графини Д.", фантастическим рассказом "Между жизнью и смертью". Впоследствии они были высоко оценены писателем Михаилом Булгаковым. Данные произведения вышли в свет уже после смерти автора.
В декабре 1890 г. в журнале "Вестник Европы" было опубликовано одно из самых известных стихотворений поэта "Сумасшедший" ("Садитесь, я вам рад..."), написанное в виде монолога человека, лишенного рассудка. Текст произведения был положен на музыку для мелодекламации Николаем Киршбаумом, а его лирическая часть - со слов "Да васильки, васильки..." - стала основой популярного городского романса (в различных вариациях).
Ряд лирических стихотворений Алексея Апухтина был положен на музыку Петром Чайковским ("Он так меня любил", 1875; "Ни отзыва, ни слова, ни привета", 1875; "День ли царит", 1880 и др.), самым известным стал романс "Ночи безумные" (1886). В 1901 г. романс "Разбитая ваза" на слова Апухтина написал композитор Антон Аренский.
Еще в 1870-х гг. у литератора начало развиваться ожирение, переросшее в последующие годы в патологическое. В начале 1890-х гг., заболев также водянкой, он практически перестал выходить из дома.
Алексей Апухтин скончался 29 августа (17 августа по старому стилю) 1893 г. в Санкт-Петербурге, был похоронен на Никольском кладбище. В 1956 г. останки поэта и его памятник перенесены на территорию музея-некрополя Волковского кладбища Петербурга - Литераторские мостки.