Родился 18 февраля 1906 г. (по старому стилю 5 февраля 1906 г.) в селе Чардахлы Елизаветпольской губернии Российской империи (ныне село Чанлибель в Шамкирском районе Азербайджана).
В ряды Рабоче-крестьянской Красной армии вступил в сентябре 1925 г. Прошел обучение в Армянской объединенной командной школе им. А. Ф. Мясникова (Эривань, ныне Ереван, Армения), в Закавказской военной пехотной школе (Тифлис, ныне Тбилиси, Грузия).
В 1929 г. был направлен в 7-й Кавказский стрелковый полк Кавказской Краснознаменной армии.
В 1930 г. принимал участие в ликвидации вооруженных бандформирований в Закавказье, командовал взводом, был ранен. С 1934 г. занимал должности командира пулеметной роты, командира пулеметного полка в Закавказском военном округе (г. Баку, Азербайджанская СССР). В 1938-1940 гг. был помощником командира зенитно-пулеметного полка по строевой части в Ленинградском военном округе.
С ноября 1939 г. по март 1940 г. Амазасп Бабаджанян участвовал в советско-финляндской войне, был помощником командира 2-го зенитно-пулеметного полка по строевой части. 18 февраля 1940 г. получил ранение.
С декабря 1940 г. занимал должности заместителя командира стрелковых полков в Северо-Кавказском военном округе, затем помощника начальника отделения оперативного штаба 19-й армии (Киевский особый военный округ).
С августа 1941 г. командовал 395-м (с сентября того же года - 1-м гвардейским) стрелковым полком. Участник боевых действий Великой Отечественной войны на Западном (июль - август 1941 г.), Брянском (август - ноябрь 1941 г.), Юго-Западном (ноябрь 1941 г. - март 1942 г.) и Южном (март - апрель 1942 г.) фронтах. Амазасп Бабаджанян прошел через Смоленское сражение, Ельнинскую и Орловско-Брянскую операции, оборонительные бои на воронежском направлении и наступательные бои на таганрогском направлении.
В сентябре 1942 г. окончил ускоренный курс Военной академии им. М. В. Фрунзе, которая действовала в эвакуации в г. Ташкенте (Узбекская ССР, ныне Узбекистан).
С сентября 1942 г. по август 1944 г. командовал 3-й механизированной бригадой (с октября 1943 г. - 20-я гвардейская). Воевал на Калининском (октябрь 1942 - февраль 1943), Северо-Западном (февраль - март 1943), Воронежском (апрель - сентябрь 1943) и 1-м Украинском (ноябрь 1943 - август 1944) фронтах. Был участником Ржевско-Сычевской, Демянской операций, Курской битвы, Белгородско-Харьковской, Киевской оборонительной, Житомирско-Бердичевской, Проскуровско-Черновицкой и Львовско-Сандомирской операциях. В ходе Проскуровско-Черновицкой операции на территории современной Тернопольской области (запад Украины) небольшие передовые группы под командованием Амазаспа Бабаджаняна стремительными атаками освободили города Теребовля (22 марта 1944), Копычинцы (23 марта), Чортков (23 марта) и Залещики (24 марта). В районе последнего города Бабаджанян под огнем противника разведал брод через реку Днестр и первым на своем танке переправился на правый берег, где бригада захватила плацдарм.
Указом Президиума Верховного совета СССР от 26 апреля 1944 г. гвардии полковнику Амазаспу Бабаджаняну было присвоено почетное звание Героя Советского Союза ("за умелое командование бригадой и проявленные в боях с немецко-фашистскими захватчиками мужество и героизм").
19 августа 1944 г. Бабаджанян был тяжело ранен в горло и направлен на лечение в госпиталь.
С сентября того же года по май 1945 г. командовал 11-м гвардейским танковым корпусом. Участвовал в боях на 1-м (ноябрь 1944 - март 1945, март - май 1945) и 2-м (март 1945) Белорусских фронтах, в Варшавско-Познанской, Восточно-Померанской и Берлинской операциях.
За отличные боевые действия 11-го гвардейского танкового корпуса в Берлинской операции командующий 1-й гвардейской танковой армией Михаил Катуков представил Бабаджаняна к званию дважды Героя Советского Союза, однако вместо этого военачальник был награжден орденом Суворова.
После завершения Великой Отечественной войны командовал 11-м гвардейским танковым корпусом до июня 1945 г. Затем до января 1947 г. был командиром 11-й гвардейской танковой дивизии, дислоцированной на территории Германии.
В декабре 1948 г. стал выпускником Высшей военной академии им. К. Е. Ворошилова (ныне Военная академия Генерального штаба Вооруженных сил РФ, Москва).
С марта 1949 г. занимал должность начальника штаба 2-й гвардейской механизированной армии, а с сентября 1950 г. по май 1956 г. был командующим этой армией (в Группе советских оккупационных войск в Германии, с 1954 - Группа советских войск в Германии).
С мая 1956 г. по январь 1958 г. командовал 8-й механизированной (с июня 1957 г. - танковой) армией в Прикарпатском военном округе (штаб в г. Львове Украинской ССР).
С января 1958 г. являлся 1-м заместителем командующего войсками Прикарпатского военного округа, а с июня 1959 г. по сентябрь 1967 г. - командовал войсками Одесского военного округа.
В период с сентября 1967 г. по май 1969 г. занимал пост начальника Военной академии бронетанковых войск в Москве.
С мая 1969 г. по ноябрь 1977 г. Амазасп Бабажанян был начальником танковых войск Советской армии.
Скончался 1 ноября 1977 г. на 72-м году жизни. Похоронен в Москве на Новодевичьем кладбище.
Был депутатом Верховного совета СССР VI и VII созывов (1962-1970), депутатом Верховного совета РСФСР 8 и 9 созывов (1971-1977), депутатом Верховного совета Армянской ССР.
Главный маршал бронетанковых войск (1975).
Награжден четырьмя орденами Ленина (1944, 1950, 1966, 1976), орденом Октябрьской Революции (1972), четырьмя орденами Красного Знамени (1942, 1943, 1945, 1956), орденами Суворова I (1945) и II (1945) степеней, Кутузова I степени (1956), Отечественной войны I степени (1944), двумя орденами Красной Звезды (1943, 1944), медалями. Также имел награды иностранных государств.
Автор книги "Дороги победы" (1972, переиздавалась в 1975 и 1981 гг.). Воспоминания и материалы личного архива легли в основу книг "Танковые рейды. 1941-1945" (2009), "Детство и отрочество" (2012).