Родился 13 марта 1931 г. в г. Баку Азербайджанской ССР (ныне Азербайджанская Республика).
В 1954 г. окончил юридический факультет Ростовского государственного университета (ныне Южный федеральный университет), в 1957 г. - аспирантуру Института государства и права им. А. Я. Вышинского Академии наук СССР (Москва).
Доктор юридических наук. В 1957 г. в Институте государства и права АН СССР защитил диссертацию на соискание ученой степени кандидата юридических наук по теме "Правовые вопросы забастовочного движения в США". В 1968 г. в Московском государственном институте международных отношений МИД СССР защитил докторскую диссертацию по теме "Социальная деятельность империалистического государства".
Профессор (1970), член-корреспондент РАН по отделению философии, социологии, психологии и права (1997).
С 1957 по 1962 г. - научный сотрудник Института государства и права АН СССР.
В 1962-1967 гг. - доцент кафедры государственного права Московского государственного института международных отношений МИД СССР (ныне МГИМО МИД России).
С 1967 по 1977 г. - заведующий отделом в Институте международного рабочего движения АН СССР.
В 1977-1991 гг. - проректор Высшей школы профсоюзного движения ВЦСПС им. Н. М. Шверника (ныне Академия труда и социальных отношений).
Одновременно с 1977 г. являлся профессором кафедры конституционного права МГИМО.
Состоял в Коммунистической партии Советского Союза до мая 1991 г.
С 1991 по 1995 г. - первый проректор - проректор по научной работе Академии труда и социальных отношений. С сентября 1994 г. также заведовал кафедрой публичного права этого вуза.
7 февраля 1995 г. Совет Федерации РФ избрал Марата Баглая судьей Конституционного суда (КС) РФ. Его кандидатуру поддержал 101 сенатор, против проголосовали 29.
20 февраля 1997 г., после отставки Владимира Туманова, Марат Баглай был избран председателем КС РФ в первом туре 12 голосами из 19. 21 февраля 2000 г. переизбран на этот пост (за - 18, против - один). В июле 1999 г. КС РФ под его председательством принял постановление о соответствии конституции федерального закона "О культурных ценностях, перемещенных в Союз ССР в результате Второй мировой войны и находящихся на территории Российской Федерации". Согласно этому решению, ценности, вывезенные с территории "бывших неприятельских государств", признавались российскими. В декабре 1999 г. Конституционный суд подтвердил законность решения президента РФ Бориса Ельцина об отстранении от должности генпрокурора РФ Юрия Скуратова.
21 февраля 2003 г. во втором туре голосования по выборам председателя КС Марат Баглай уступил Валерию Зорькину с результатом 9 голосов против 10. Тогда же были прекращены его судейские полномочия.
Скончался 10 января 2024 г. на 93-м году жизни в Москве.
Судья высшего квалификационного класса (1995).
Был награжден орденами "Дружбы народов" (СССР, 1975), "За заслуги перед Отечеством" II степени (2001). Отмечен почетными грамотами президента РФ (2008) и правительства РФ (2001).
Заслуженный деятель науки РФ (1996). Заслуженный юрист РФ (2003).
Автор трудов по теории государства и права, конституционного права. Автор книг "Советские профсоюзы: роль, функции, права" (1983), "Социализм, правовое государство, трудящиеся" (1990), "Дорога к свободе" (1994), "Президенты Российской Федерации и Соединенных Штатов Америки: роль, порядок выборов, полномочия" (2008), учебных пособий, комментариев к Конституции РФ (2008).