Родился 15 июля 1941 г. в дер. Арзаматово Шарангского района Кировской области (ныне деревня и район входят в состав Нижегородской области).
В 1964 г. окончил педиатрический факультет Казанского государственного медицинского института (ныне университет). В 1966-1969 гг. обучался в аспирантуре вуза на кафедре социальной гигиены и организации здравоохранения.
Доктор медицинских наук. В 1969 г. защитил кандидатскую диссертацию, в 1977 г. - докторскую диссертацию по теме "Эпидемиология и организационные принципы лечения неинфекционных заболеваний органов пищеварения у детей".
Профессор (1996).
В 1991 г. Александр Баранов был избран членом-корреспондентом Академии медицинских наук СССР (впоследствии Российская академия медицинских наук, РАМН), в 1995 г. - академиком РАМН. С 2011 г. - академик Российской академии наук (РАН).
После окончания института два года работал врачом-педиатром в Верхне-Услонской районной больнице (Татарская АССР, ныне Республика Татарстан).
С 1969 г., после защиты кандидатской диссертации, был старшим научным сотрудником Горьковского научно-исследовательского педиатрического института (ныне Институт педиатрии Приволжского исследовательского медицинского университета, г. Нижний Новгород). Затем заведовал организационно-методическим отделом. В 1979-1987 гг. являлся директором института.
В 1987-1991 гг. занимал должность заместителя министра, в 1991 г. - первого заместителя министра здравоохранения СССР.
В 1992-2005 гг. заведовал кафедрой детских болезней Московской медицинской академии им. И. М. Сеченова (ныне Первый Московский государственный медицинский университет им. И. М. Сеченова, Сеченовский университет).
В 1994 г. Александр Баранов выступил инициатором создания Союза педиатров России (правопреемник Всесоюзного общества детских врачей и Всероссийского общества детских врачей) и стал его первым председателем. В настоящее время - почетный президент этой организации.
В 1996 г. был назначен директором НИИ гигиены и профилактики заболеваний детей, подростков и молодежи, который в том же году был реорганизован в Научный центр охраны здоровья детей и подростков РАМН.
В январе 1998 г. по инициативе Александра Баранова на базе возглавляемого им центра и НИИ педиатрии РАМН был образован Научный центр здоровья детей РАМН (ныне Национальный медицинский исследовательский центр здоровья детей Минздрава РФ). В 1998-2018 гг. он являлся директором центра, затем был научным руководителем.
Одновременно с 2005 по 2015 г. заведовал кафедрой педиатрии и детской ревматологии Сеченовского университета. В настоящее время является профессором этой кафедры.
В 2007-2014 гг. был вице-президентом РАМН.
В 2007-2013 гг. - вице-президент Европейской педиатрической ассоциации (EPA/UNEPSA).
С 2010 г. по н. в. - вице-президент Национальной медицинской палаты.
С марта 2014 г. по сентябрь 2017 г. являлся членом президиума Российской академии наук.
С 2019 г. по н. в. - советник руководителя Научно-исследовательского института педиатрии и охраны здоровья детей Центральной клинической больницы РАН.
Главный внештатный специалист педиатр Минздрава РФ.
Член Отделения медицинских наук РАН (секция клинической медицины), заместитель академика-секретаря этого отделения.
Главный редактор журналов "Вопросы современной педиатрии", "Российский педиатрический журнал", "Справочник педиатра".
Александр Баранов - один из основоположников современной детской гастроэнтерологии, педиатрической экопатологии, фундаментальных исследований по неспецифической резистентности организма у детей. Он создал научную школу по профилактической педиатрии. Внедрил в практику здравоохранения многие идеи по снижению смертности, заболеваемости и инвалидности детей и подростков.
Автор и соавтор более 500 научных работ, в том числе монографий, учебников для вузов и клинических рекомендаций. Среди них "Детские болезни" (2002), "Гастроинтестинальная пищевая аллергия у детей" (2002), "Оценка здоровья детей и подростков при профилактических медицинских осмотрах" (2004), "Педиатрия: клинические рекомендации" (2005), "Атлас по детской ревматологии" (2009) и др. Под его редакцией изданы "Руководство по амбулаторно-поликлинической педиатрии" (2006), "Руководство по первичной медико-санитарной помощи" (2006) и др. Написал книгу "О педиатрии, о себе и не только..." (2020).
Награжден орденами Трудового Красного Знамени (1986), Почета (2001). Полный кавалер ордена "За заслуги перед Отечеством" ( I степень - 2021, II - 2016, III - 2010, IV - 2006).
Лауреат премии правительства РФ 2010 г. в области науки и техники ("за научное обоснование, разработку и внедрение системы мероприятий по снижению младенческой смертности в Российской Федерации").
Удостоен премий РАМН: им. Н. Ф. Филатова (2001) и им. А. А. Богомольца (2009).
Почетный профессор Университета Фоджа (Италия), почетный член Турецкого педиатрического общества.