Родился 23 июня 1998 г. в селе Бабаюрт (Республика Дагестан).
Выпускник Нижневартовского социально-гуманитарного колледжа (Ханты-Мансийский автономный округ - Югра).
Студент факультета физической культуры и спорта Нижневартовского государственного университета.
С шести лет Альберт Батыргазиев проживал с семьей в Нижневартовске. В семь лет начал заниматься в этом городе кикбоксингом под руководством заслуженного тренера России Руслана Куштанова.
В первой половине 2010-х гг. Альберт Батыргазиев успешно выступал на российских и международных соревнованиях по кикбоксингу. В 2013 г. в Красноярске он стал победителем юношеского первенства России (участники 1997 и 1998 гг. рождения). В том же году в гор. Крыница-Здруй (Польша) выиграл первенство Европы среди кадетов. В 2014 г. в Римини (Италия) завоевал золото юниорского первенства мира.
В 2016 г. Альберт Батыргазиев сосредоточил карьеру на боксерских выступлениях. Его подготовку ведут тренеры Руслан Куштанов и Эдуард Кравцов.
В 2017 г. в Грозном он стал чемпионом России по боксу в весовой категории до 60 кг. В 2018 г. в Якутске повторил это достижение. В 2019 г. в Самаре стал чемпионом России по боксу в весовой категории до 57 кг, в 2020 г. в Оренбурге - в весовой категории до 60 кг.
В марте 2020 г. в ходе европейского квалификационного турнира в Лондоне (Великобритания) завоевал путевку на Олимпиаду в Токио (Япония).
В июле 2020 г. в Москве Альберт Батыргазиев дебютировал на профессиональном ринге. Нанеся поражение соотечественнику Армену Атаеву, завоевал титул чемпиона Азии во втором полулегком весе по версии Всемирной боксерской ассоциации (World Boxing Association, WBA). В августе 2020 г. в Казани взял верх над Эржаном Тургумбековым (Киргизия), в январе 2021 г. в Москве - над Сибусисо Зинганге (ЮАР).
5 августа 2021 г. Альберт Батыргазиев стал чемпионом XXXII летней Олимпиады в Токио по боксу в весовой категории до 57 кг. В финале нанес поражение американцу Дюку Рэгану.
В октябре 2021 г. в Уфе завоевал титул чемпиона Европы по версии Всемирной боксерской организации (WBO) в весовой категории до 57,15 кг. Выиграл у итальянца Суата Лазе.
Заслуженный мастер спорта РФ (2021). Прапорщик Вооруженных сил РФ.
Награжден орденом Дружбы (2021).