Родился 27 марта 1945 г. в Москве. Отец - Александр Маркович Бамдас (1905-1972, доктор технических наук). Мать - Александра Александровна Бажанова (1908-1982, журналист).
В 1973 г. Леонид Бажанов окончил искусствоведческое отделение исторического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.
Член-корреспондент Российской академии художеств (2011, отделение искусствознания и художественной критики).
В 1967-1985 гг. работал в Государственном музее изобразительных искусств им. А. С. Пушкина, музеях Московского Кремля, Центральном выставочном зале "Манеж", а также в правлении Союза художников СССР и издательстве "Советский художник".
С конца 1960-х гг. параллельно с основной деятельностью занимался живописью, организовывал неофициальные выставки в научных институтах и академических городках.
В 1986 г. Леонид Бажанов основал в Москве творческое объединение "Эрмитаж", занимавшееся организацией выставок современного искусства. В 1987 г. общество получило выставочный зал на ул. Профсоюзной (с 1988 г. - галерея "Беляево"). Здесь были проведены первые выставки советских художников-нонконформистов Эрнста Неизвестного, Оскара Рабина, Эдуарда Штейнберга и др.
В 1990 г. Леонид Бажанов основал Центр современного искусства на ул. Большая Якиманка.
C 1992 по 1997 г. возглавлял управление, отдел изобразительного искусства Министерства культуры РФ.
В 1992 г. стал инициатором создания в Москве Государственного центра современного искусства (ГЦСИ). Возглавлял его в качестве художественного руководителя с 1997 по 2016 г., когда ГЦСИ был включен в состав Государственного музейно-выставочного центра "РОСИЗО" (с 2019 г. ГЦСИ является структурным подразделением Государственного музея изобразительных искусств им. А. С. Пушкина).
Леонид Бажанов выступал куратором выставок современного искусства в России и за рубежом, а также российских выставочных проектов на международных биеннале и триеннале в Венеции (Италия), Стамбуле (Турция), Каире (Египет), Нью-Дели (Индия), Сан-Паулу (Бразилия).
Автор многочисленных статей о теории и практике современного искусства.
Леонид Бажанов преподает на факультете коммуникаций, медиа и дизайна Национального исследовательского университета "Высшая школа экономики". Является академическим руководителем программы "Современное искусство". Профессор.
Член общественной комиссии по сохранению наследия академика Сахарова - высшего органа управления Сахаровского центра (Москва).
Соучредитель регионального общественного фонда содействия развитию современного искусства "Новое искусство".
Заслуженный работник культуры РФ (2012).
Лауреат премии "Инновация" во внеконкурсной номинации "За вклад в развитие современного искусства России" (2019).