Родился 25 сентября 1962 г. в Карелии в белорусской семье. В 1965 г. вместе с родителями переехал в Белоруссию.
В 1984 г. окончил Гомельский государственный университет по специальности "филолог, преподаватель белорусского и русского языков и литературы", в 1989 г. - аспирантуру Института литературы Академии наук БССР. В годы учебы был одним из учредителей неформального товарищества молодых литераторов "Тутэйшыя" ("Местные"). Участвовал в организации мероприятий, посвященных памяти жертв массовых репрессий, неоднократно привлекался к административной ответственности. Один из организаторов правозащитного общества "Мартиролог Беларуси" (1988), общества "Белорусская католическая громада" (1990). Секретарь правления (1996-1999), заместитель председателя (1999-2001) Белорусского народного фронта "Адраджэньне" ("Возрождение").
Работал младшим научным сотрудником Музея истории белорусской литературы, возглавлял Литературный музей Максима Богдановича в Минске (1989-1998). Избирался депутатом Минского городского Совета депутатов (1991-1996).
В 1996 г. организовал и возглавил правозащитную организацию "Вясна-96" (Правозащитный центр "Весна"; в августе 2023 г. признан экстремистским формированием в Белоруссии). Был руководителем рабочей группы Ассамблеи демократических неправительственных организаций Белоруссии (2000-2004), вице-президентом Международной федерации за права человека (FIDH; 2007-2016).
В августе 2011 г. был арестован по обвинению в уклонение от уплаты налогов. Освобождения Беляцкого добивались страны Европейского союза, Европарламент, международные правозащитные организации и др. 23 ноября 2011 г. суд приговорил Алеся Беляцкого к 4 годам и 6 месяцам лишения свободы в колонии усиленного режима с конфискацией имущества. Приговор осудили страны ЕС и США, крупные международные правозащитные организации. 21 июня 2014 г. Алесь Беляцкий был досрочно освобожден из исправительной колонии в Бобруйске. Международными правозащитными организациями он признан узником совести и политзаключенным.
После освобождения продолжил заниматься правозащитной деятельностью. Во время протестов в Белоруссии в 2020 г. против результатов президентских выборов стал членом координационного совета оппозиции. С июля 2021 г. Беляцкий находился под арестом по обвинению в контрабанде и финансировании групповых действий, грубо нарушающих общественный порядок. По версии следствия, он и проходившие с ним по делу представители "Весны" с 4 апреля 2016 г. по 14 июля 2021 г. на территории Литвы обналичили поступившие от различных структур и фондов на банковские счета контролируемой ими иностранной организации деньги в сумме не менее 201 тыс. евро и 54 тыс. долларов. Затем данные средства "с помощью иных лиц" были без декларирования поэтапно перемещены через таможенную границу Евразийского экономического союза. С мая 2020 г. по 14 июля 2021 г. фигуранты дела осуществляли подготовку лиц для участия в акциях, грубо нарушающих общественный порядок, а также финансировали такие мероприятия "под видом правозащитной и благотворительной деятельности". В ходе судебного процесса, начавшегося 5 января 2023 г., подсудимые своей вины не признали.
3 марта 2023 г. Суд Ленинского района Минска признал Алеся Беляцкого виновным в инкриминируемых ему преступлениях и приговорил к 10 годам лишения свободы с отбыванием наказания в исправительной колонии усиленного режима. Проходившие с Беляцким по делу Валентин Стефанович и Владимир Лабкович осуждены на 9 и 7 лет заключения в колонии усиленного режима соответственно.
Лауреат ряда европейских и правозащитных премий. Неоднократно выдвигался на Нобелевскую премию мира. 7 октября 2022 г. Норвежский нобелевский комитет присудил Алесю Беляцкому, российскому центру "Мемориал" (признан иноагентом и ликвидирован решением суда) и украинскому Центру гражданских свобод Нобелевскую премию мира за "представление гражданского общества в своих странах".
Женат, имеет сына.