Родился 23 августа 1979 г. в г. Лениногорске Казахской ССР (ныне Риддер, Республика Казахстан).
В 2002 г. окончил Алтайский государственный технический университет им. И. И. Ползунова по специальности "технология, оборудование и автоматизация машиностроительных производств". В том же вузе получил второе высшее образование по специальности "экономика и управление на предприятии машиностроения". В 2008 г. прошел обучение по программе Mini MBA в Академии бизнеса Ernst&Young, в 2010 г. обучался по программе Executive MBA в Московской школе управления "Сколково", в 2015 г. - по программе "Подготовка и переподготовка резерва управленческих кадров" в Российской академии народного хозяйства и государственной службы при президенте РФ.
В 2002-2003 гг. - специалист бюро внедрения ERP-систем (автоматизация управления предприятием) в компании "Байт софт" (Барнаул, Алтайский край).
В 2003-2004 гг. - начальник сектора абонентского оборудования ЗАО "Мобильные телесистемы - Барнаул".
В 2004 г. переехал в Новосибирск, где до 2009 г. работал в телекоммуникационной компании "МТС" (макрорегион "Сибирь"). Был начальником отдела обеспечения продаж и абонентского обслуживания в департаменте по работе с партнерами, затем директором департамента по работе с ключевыми клиентами (2005-2008), коммерческим директором по работе с бизнес-рынком (2008-2009).
С 2009 по 2012 г. - директор филиала ОАО "МТС" в Воронежской области.
В 2012-2016 гг. - заместитель председателя правительства Воронежской области, курировал сферы промышленности и транспорта, связи, информационных технологий и массовых коммуникаций, потребительского рынка и предпринимательства, туризма.
В 2016 г. переехал в Москву, где до 2017 г. занимал должность директора департамента региональной промышленной политики и проектного управления Министерства промышленности и торговли РФ.
С 22 ноября 2017 г. занимал пост заместителя министра промышленности и торговли РФ Дениса Мантурова.
15 мая 2024 г. президент РФ Владимир Путин назначил Алексея Беспрозванных врио губернатора Калининградской области. Во главе региона сменил Антона Алиханова, возглавившего Министерство промышленности и торговли РФ.
8 сентября 2024 г. Алексей Беспрозванных был избран губернатором Калининградской области на прямых выборах. За него проголосовали 76,55% избирателей (баллотировался от "Единой России"). Второе место занял кандидат от ЛДПР, депутат заксобрания региона Евгений Мишин (9,51%). 20 сентября того же года Алексей Беспрозванных вступил в должность.
Действительный государственный советник РФ II класса (2023).
Награжден орденом Дружбы (2022), медалью ордена "За заслуги перед Отечеством" II степени (2020).