Родился 6 февраля 1970 г. в г. Цхинвали Юго-Осетинской автономной области Грузинской ССР (ныне г. Цхинвал, Республика Южная Осетия) в рабочей семье. В 1988 г. окончил спецшколу-интернат им. генерал-полковника К. Н. Леселидзе с углубленным изучением русского языка и усиленной военно-физической подготовкой (Тбилиси).
В 1992 г. окончил Рязанское высшее воздушно-десантное командное училище им. Ленинского комсомола (ныне Рязанское гвардейское высшее воздушно-десантное командное училище им. генерала армии В. Ф. Маргелова).
После окончания училища был распределен в 76-ю Псковскую воздушно-десантную дивизию, в составе сводного батальона которой принимал участие в миротворческой операции в Южной Осетии.
В 1994-1996 гг. был командиром роты специального назначения Министерства обороны Южной Осетии.
В 1996-1998 гг. занимался коммерческой деятельностью.
С 1998 по 2008 г. служил в североосетинском батальоне миротворческих сил в Южной Осетии на должностях от командира роты до заместителя командира батальона. В августе 2008 г. в ходе вооруженного грузино-южноосетинского конфликта участвовал в боевых действиях. Руководил организацией обороны Цхинвала, затем зачисткой города от грузинских войск. Получил два ранения.
31 октября 2008 г. Анатолий Бибилов был назначен министром Республики Южная Осетия по делам гражданской обороны, чрезвычайным ситуациям и ликвидации последствий стихийных бедствий (МЧС Южной Осетии).
В ноябре 2011 г. принимал участие в выборах президента Южной Осетии от Республиканской партии "Единство". Его кандидатуру также поддержали Коммунистическая партия Южной Осетии, Социалистическая партия "Фыдыбаста", движение "Вперед, Осетия!", международное общественное движение "Высший совет осетин".
В первом туре выборов 13 ноября 2011 г. занял первое место (24,86% голосов) и вышел во второй тур вместе с бывшим министром образования республики, кандидатом от оппозиции Аллой Джиоевой (24,8%). Во втором туре 27 ноября того же года проиграл Джиоевой (56,7%), получив 40% голосов избирателей. Однако 29 ноября 2011 г. Верховный суд Южной Осетии признал недействительными результаты второго тура в связи с нарушениями, допущенными сторонниками Аллы Джиоевой. В тот же день парламент республики назначил повторные выборы президента на 25 марта 2012 г., но Анатолий Бибилов отказался выдвигать свою кандидатуру. По итогам второго тура выборов 8 апреля 2012 г. президентом Южной Осетии был избран бывший министр госбезопасности республики Леонид Тибилов (54,12%).
В апреле 2012 г. Анатолий Бибилов сообщил о создании новой политической партии "Единая Осетия". 5 сентября того же года на учредительном съезде партии был избран ее председателем. Покинул этот пост в апреле 2017 г. в связи с избранием президентом Южной Осетии.
С 8 июня 2014 г. по 18 апреля 2017 г. - депутат парламента Южной Осетии VI созыва от партии "Единая Осетия".
С 23 июня 2014 г. занимал должность председателя парламента республики.
В январе 2017 г. партия "Единая Осетия" выдвинула Анатолия Бибилова кандидатом на выборы президента республики. 9 апреля 2017 г. он был избран президентом Южной Осетии с результатом 54,8% голосов. За его ближайшего конкурента, действующего главу республики Леонида Тибилова, проголосовали 33,7% избирателей. Инаугурация состоялась 21 апреля 2017 г.
Согласно поправкам в Конституцию Южной Осетии от 11 апреля 2019 г., Анатолий Бибилов как президент республики одновременно является Верховным главнокомандующим Вооруженными силами страны.
8 февраля 2022 г. партия "Единая Осетия" вновь выдвинула Анатолия Бибилова кандидатом на пост президента Южной Осетии.
В первом туре президентских выборов 10 апреля занял второе место (34,95% голосов), уступив лидеру партии "Ныхас" Алану Гаглоеву (38,55% голосов). Во втором туре 8 мая 2022 г. вновь уступил Алану Гаглоеву (56,09%), получив 40,90% голосов избирателей.
В своей предвыборной программе Бибилов обещал обеспечить повышение благосостояния жителей Южной Осетии за счет развития народного хозяйства и углубления экономического сотрудничества и интеграции с Россией. Среди его предвыборных обещаний - рост числа рабочих мест, подготовка специалистов из местных кадров, продолжение газификации и строительства нового жилья в республике, повышение качества медицинских услуг и др. Одним из главных пунктов программы являлась активизация работы по вхождению республики в состав РФ. 30 марта Анатолий Бибилов заявил, что Южная Осетия готова в ближайшее время предпринять необходимые юридические шаги с этой целью. 6 апреля ЦИК республики зарегистрировал инициативную группу по проведению референдума по вопросу вхождения Южной Осетии в состав РФ.
Имеет звание генерал-лейтенанта.
Награжден орденами "Уацамонга" (Южная Осетия; 2008), Дружбы (Россия; 2011).
Женат, имеет двоих сыновей и двух дочерей.