Родился 24 мая 1934 г. в г. Сталино (Украинская ССР, ныне г. Донецк, РФ) в семье Андрея Алексеевича Бичукова и Евдокии Владимировны Марченко. Отец был горным инженером, погиб в шахте в 1948 г. Мать работала учительницей литературы.
В 1951 г., окончив Донецкое архитектурно-художественное училище, Анатолий Бичуков по распределению уехал работать в Москву. Занимался восстановлением фасадов старых зданий, посещал художественную школу. Был призван в армию, служил в Военно-воздушных силах стрелком-радистом.
В 1957 г., после демобилизации, стал штатным художником издававшейся в Москве еженедельной газеты "Советский патриот". В 1958-1960 гг. работал художником-оформителем в газете "Литература и жизнь".
В 1959 г. Анатолий Бичуков поступил на факультет скульптуры Московского государственного художественного института им. В. И. Сурикова Академии художеств СССР (ныне - Московский государственный академический художественный институт им. В. И. Сурикова при Российской академии художеств). Окончил его в 1964 г. по специальности "художник-скульптор". Выпускник мастерской народного художника СССР Матвея Манизера.
С 1960-х гг. Анатолий Бичуков преимущественно работал в жанрах монументальной и станковой скульптуры. В 1967 г. он был принят в Союз художников СССР.
Первой заметной монументальной работой стал гранитный памятник поэту Борису Корнилову (1968), установленный в гор. Семенов (Горьковская, ныне - Нижегородская область). Наиболее известные произведения скульптора находятся в Москве: монумент "Благодарная Россия - солдатам правопорядка, погибшим при исполнении служебного долга" на Трубной площади (1994), композиция "Защитникам земли российской" на Поклонной горе (1995), памятник Сергею Есенину на Тверском бульваре (1995). Среди других монументальных работ - памятники "Летчикам - героям гражданской авиации, погибшим в годы Великой Отечественной войны 1941-1945 гг." во Внуково (1984), "Героям-медикам, погибшим в годы Великой Отечественной войны 1941-1945 гг." в Кисловодске (1997), художнику Аркадию Пластову в Ульяновске (2003).
В середине 1990-х гг. Анатолий Бичуков участвовал в воссоздании скульптурного убранства храма Христа Спасителя, в 1999-2000 гг. оформил интерьеры и внутреннее убранство храма Казанской иконы Божией Матери на Калужской площади (Москва).
В 2002 г. выполнил бронзовые фигуры российских императоров Петра I, Екатерины II, Николая I и Александра II для резиденции президента РФ в Большом Кремлевском дворце.
Скульптурные произведения мастера установлены в Германии, Италии, Казахстане, Чили, Швеции и других странах, находятся в коллекциях российских и зарубежных музеев и галерей.
В 1974-2013 гг. Анатолий Бичуков являлся художественным руководителем Студии художников им. В. В. Верещагина МВД России, в 1987-2001 гг. - заведующим кафедрой скульптуры и композиции Российской академии живописи, ваяния и зодчества (Москва).
В 2000-х гг. возглавлял художественно-экспертный совет по монументальному искусству при Федеральном агентстве по культуре и кинематографии.
В 2001-2011 гг. - ректор Московского государственного академического художественного института им. В. И. Сурикова при Российской академии художеств.
С 2001 г. являлся вице-президентом Российской академии художеств.
Анатолий Бичуков скончался 19 февраля 2020 г. в Москве на 86-м году жизни. Похоронен на столичном Троекуровском кладбище.
Народный художник РСФСР (1980). Являлся полковником внутренней службы в отставке.
Был награжден медалью ордена "За заслуги перед Отечеством" II степени (1996), отмечен благодарностью президента РФ (1995).
Лауреат премии города Москвы в области литературы и искусства (2001), Международной премии им. Михаила Шолохова в области литературы и искусства (2004).
Почетный гражданин гор. Семенов (1979).