Родился 2 июля 1968 г. в Москве в семье инженеров.
Окончил Московский техникум транспортного строительства (в 1999 г. был присоединен к Московскому колледжу архитектуры и градостроительства) и Всесоюзный заочный политехнический институт (впоследствии Московский государственный открытый университет им. В. С. Черномырдина, в 2012 г. вошел в состав Московского политехнического университета) по специальности "маркшейдерское дело".
С 1986 по 1987 г. был рабочим второго разряда геодезическо-маркшейдерского управления "Главтоннельметростроя", занимавшегося, в частности, строительством Московского метрополитена.
В 1987-1989 гг. проходил срочную военную службу в морской авиации.
Демобилизовавшись, вернулся на прежнее место работы, был сменным маркшейдером. Принимал участие в строительстве станций метро "Коньково", "Теплый Стан", "Бибирево", "Алтуфьево".
В 1991 г. познакомился с раввином московской синагоги в Марьиной Роще Берлом Лазаром (ныне главный раввин России), посещал его занятия.
В 1993 г. стал коммерческим директором литературно-публицистического журнала "Лехаим" Федерации еврейских общин России (ФЕОР). Работал в издании до 1998 г.
С 1996 по 2000 г. возглавлял региональный общественный Фонд развития еврейской культуры (Москва). При содействии Александра Бороды был построен Московский еврейский общинный центр (открылся в 2000 г.).
В 2000 г. стал исполнительным вице-президентом ФЕОР, в 2004 г. вошел в состав правления организации.
В 2000-2007 гг. - исполнительный директор регионального общественного фонда "Эзра" (Москва).
В феврале 2008 г. Александр Борода был избран президентом Федерации еврейских общин России (в последний раз переизбирался на эту должность в январе 2020 г.). Под его руководством ФЕОР стала крупнейшей религиозной организацией ортодоксального иудаизма России.
В 2012 г. по инициативе президента ФЕОР Александра Бороды и главного раввина России Берла Лазара в Москве был открыт Еврейский музей и центр толерантности. С 2012 г. по н. в. Борода является его генеральным директором.
В декабре 2015 г. в дер. Жуковка (Одинцовский р-н, Московская обл.) под руководством Александра Бороды был открыт Еврейский религиозно-культурный центр (ЕРКЦ) "Жуковка". Он является главным раввином ЕРКЦ.
Александр Борода более 10 лет входит в состав Общественной палаты (ОП) РФ. В первый раз был утвержден членом ОП РФ указом президента России Дмитрия Медведева от 23 сентября 2009 г., в последний раз - указом президента Владимира Путина от 6 апреля 2023 г.
Награжден орденом Дружбы (2016), медалью ордена "За заслуги перед Отечеством" II степени (2009).
Лауреат международной премии Фонда Андрея Первозванного "Вера и верность" (2014; "за укрепление гражданского согласия и межрелигиозного мира в российском обществе").