Родился 2 июля 1968 г. в Москве в семье инженеров.
Окончил Московский техникум транспортного строительства (в 1999 г. был присоединен к Московскому колледжу архитектуры и градостроительства) и Всесоюзный заочный политехнический институт (ныне Московский государственный открытый университет им. В. С. Черномырдина, входит в состав Московского политехнического университета) по специальности "маркшейдерское дело".
С 1986 по 1987 г. был рабочим второго разряда Геодезическо-маркшейдерского управления Главтоннельметростроя, занимавшегося, в частности, строительством Московского метрополитена.
В 1987-1989 гг. проходил срочную военную службу в морской авиации в гор. Николаеве (Украина) и в Крыму.
Демобилизовавшись, вернулся в метрострой. В 1989-1994 гг. был сменным маркшейдером. Принимал участие в строительстве станций метро "Коньково" (открыта в 1987 г.), "Теплый Стан" (1987), "Бибирево" (1992), "Алтуфьево" (1994).
В 1991 г. познакомился с раввином московской синагоги в Марьиной Роще Берлом Лазаром (ныне - главный раввин России), посещал его занятия.
В 1993 г. занял должность коммерческого директора литературно-публицистического еврейского журнала "Лехаим" Московской еврейской общины. Работал в журнале до 1998 г.
С 1996 по 2000 г. возглавлял Региональный общественный фонд развития еврейской культуры (Москва).
В 1996 г. при содействии Александра Бороды началось строительство Московского еврейского общинного центра (открылся в 2000 г.).
С 2000 г. являлся исполнительным вице-президентом Федерации еврейских общин России (ФЕОР). С 2004 г. по н. в. возглавляет правление Федерации. 19 февраля 2008 г. был избран президентом ФЕОР. Под его руководством ФЕОР стала крупнейшей централизованной еврейской религиозной организацией в РФ.
В 2000-2007 гг. - исполнительный директор Регионального общественного фонда "Эзра" (Москва).
С 2010 г. является членом Общественной палаты РФ (в последний раз утверждался ее членом указом президента РФ от 6 апреля 2023 г.).
В 2012 г. по инициативе президента ФЕОР Александра Бороды и главного раввина России Берла Лазара в Москве был открыт Еврейский музей и центр толерантности. С 2012 г. по н. в. Борода является его генеральным директором.
В 2015 г. в дер. Жуковка (Одинцовский район Московской обл.) под его руководством был открыт Еврейский религиозно-культурный центр (ЕРКЦ) "Жуковка". Александр Борода стал раввином синагоги ЕРКЦ.
Награжден орденом Дружбы (2016), медалью ордена "За заслуги перед Отечеством" II степени (2009).
Лауреат международной премии Фонда Андрея Первозванного "Вера и Верность" (2014; "за укрепление гражданского согласия и межрелигиозного мира в российском обществе").
Отмечен знаком "За заслуги перед Московской областью" III степени.
Почетный строитель города Москвы (2008).
Женат, семеро детей.