Родился 6 июня 1941 г. в Циндао (Китай). Его отец с конца 1920-х гг. проживал в Китае, где открыл производство лакокрасочных изделий. Предки по материнской линии работали на строительстве Китайско-Восточной железной дороги.
Алексей Бородин провел детство в Шанхае (Китай). Посещал в этом городе французский колледж, английскую школу для мальчиков, затем - русскоязычную школу. В 1954 г. переехал с семьей в СССР, с 1955 г. проживал в гор. Пушкино (Московская область).
В 1968 г. Алексей Бородин окончил Государственный институт театрального искусства им. А. В. Луначарского (ГИТИС; ныне Российский институт театрального искусства - ГИТИС) по специальности "Режиссер драматического театра". Выпускник курса народного артиста СССР Юрия Завадского.
Работа в театре
С 1973 по 1980 г. Алексей Бородин работал в качестве главного режиссера Кировского театра юного зрителя (ныне Кировский государственный театр юного зрителя "Театр на Спасской"). Среди его спектаклей были: "Три толстяка" по сказке Юрия Олеши, "Двадцать лет спустя" по пьесе Михаила Светлова, "Письма к другу" по произведению Альберта Лиханова и Исаака Шура, "Молодая гвардия" по роману Александра Фадеева, "Ревизор" по произведению Николая Гоголя.
С 1980 по 1989 г. - главный режиссер, с 1989 г. по н. в. - художественный руководитель Российского академического молодежного театра (до 1992 г. - Центральный детский театр). Поставил на его сцене около 40 спектаклей. В их числе: "Прости меня" по драме Виктора Астафьева (1981), "Поздний ребенок" по произведению Анатолия Алексина (1982), "Баня" по сатирической пьесе Владимира Маяковского (1988), "Король Лир" по трагедии Уильяма Шекспира (1992), "Большие надежды" по произведению Чарльза Диккенса (1994), "Марсианские хроники" по научно-фантастическому роману Рэя Брэдбери (1999), "Вишневый сад" по пьесе Антона Чехова (2004), "Золушка" по сценарию Евгения Шварца (2006), "Берег утопии" по драматической трилогии Тома Стоппарда (2007), "Чехов-GALA" по одноактным пьесам Антона Чехова (2010), "Нюрнберг" по киносценарию Эбби Манна (2014), "Демократия" по произведению Майкла Фрейна (2016), "Проблема" по пьесе Тома Стоппарда "Трудная задача" (2019) и др.
В 1996 г. в Московском академическом музыкальном театре им. К. С. Станиславского и Вл. И. Немировича-Данченко поставил оперу "Отелло" Джузеппе Верди, в 2015 г. в Государственном академическом Большом театре - оперу "Кармен" Жоржа Бизе.
В 1998 г. в Городском театре Рейкьявика (Исландия) инсценировал роман Ивана Тургенева "Отцы и дети", в 1999 г. - произведение Федора Достоевского "Бесы".
Педагогическая деятельность, книга
В 1971-1973 гг. и с начала 1980-х гг. по 2017 г. Алексей Бородин преподавал в ГИТИСе. Профессор (1997). Среди его учеников - народные артисты РФ Евгений Редько и Хаматова, Чулпан Наилевна, заслуженные артистки РФ Татьяна Веселкина и Елена Галибина.
В 2017 г. выпустил книгу "На берегах утопий. Разговоры о театре".
Звания, награды
Заслуженный деятель искусств РСФСР (1979). Народный артист РСФСР (1987).
Награжден орденами Дружбы (1997), Почета (2002), "За заслуги перед Отечеством" II, III и IV степеней (2021, 2017, 2011).
Лауреат Государственной премии РСФСР им. К. С. Станиславского за 1985 г., премии правительства РФ в области культуры за 2011 г., премии президента РФ в области литературы и искусства за произведения для детей и юношества за 2015 г.
Удостоен Международной премии К. С. Станиславского (2005), театральной премии "Хрустальная Турандот" в категории "Лучшая режиссерская работа" (2015, "Нюрнберг"), театральной премии "Золотая маска" в почетной номинации "За выдающийся вклад в развитие театрального искусства" (2020).
Личные сведения
Женат. Супруга - Елена Владимировна Бородина (физиолог, кандидат биологических наук). Дочь - Наталья (род. 1973) - выпускница театроведческого факультета ГИТИСа. Работала в Московском драматическом театре им. А. С. Пушкина и на телевидении. Сын - Владимир (род. 1978) - выпускник факультета политологии Российского государственного гуманитарного университета, кандидат политических наук. В 2004-2005 гг. был главным редактором газеты "Известия". В настоящее время проживает в США, занимается ресторанным бизнесом.