Родился 30 октября 1921 г. в гор. Курске.
В 1936 г. после завершения обучения в школе-семилетке работал шофером в родном городе, а 1937 г. окончил местный аэроклуб.
В январе 1940 г. был призван в Рабоче-крестьянскую Красную армию (РККА). В январе 1941 г. окончил Чугуевское военное авиационное училище летчиков (с февраля 1941 г. - Чугуевская военная авиационная школа пилотов - ЧВАШП, г. Харьков, Украинская ССР, ныне Украина), где затем служил в качестве инструктора.
После начала Великой Отечественной войны, в сентябре 1941 г., был эвакуирован вместе с училищем в г. Чимкент (Казахская ССР, ныне г. Шымкент, Казахстан). В декабре 1941 г. Андрея Боровых приняли в 728-й истребительный авиационный полк (иап), сформированный из летчиков-инструкторов ЧВАШП в эвакуации. Летал на истребителях И-16, И-185 и Як-7, был командиром звена.
В сентябре 1942 г. был переведен в 157-й иап, в котором до конца войны прошел путь от летчика до заместителя командира по летной части. Пилотировал британский истребитель Hawker Hurricane ("Хокер Харрикейн"), советские Як-7, Як-9, Як-1 и Як-3. К июню 1943 г. совершил 341 боевой вылет, принял участие в 55 воздушных боях, сбил 14 самолетов противника лично и еще 12 - в группе.
С декабря 1941 по май 1945 г. принимал участие в боевых действиях на Северо-Западном, Калининском, Центральном, Белорусском и 1-м Белорусском фронтах. Участвовал в Торопецко-Холмской, Ржевско-Вяземской и Ржевско-Сычевской, Орловской, Черниговско-Припятской, Голмельско-Речицкой, Люблин-Бресткой, Варшаво-Познанской, Восточно-Померанской и Берлинской операциях, а также в оборонительных и наступательных боях на Курской дуге.
Особенно отличился 2 июня 1943 г. в одном из крупнейших воздушных сражений войны. Тогда во время массированных ударов немецкой авиации по Курскому железнодорожному узлу в небе сошлись 543 немецких и 430 советских самолетов. В этой битве Андрей Боровых сбил две машины люфтваффе, а через несколько дней в неравном бою был подбит и, выпрыгнув из самолета с парашютом, был ранен в ногу. После госпиталя Андрей Боровых вернулся на фронт. Во время ожесточенных боев на Курской дуге уничтожил восемь немецких самолетов.
Всего за годы войны летчик совершил 475 боевых вылетов, в 113 воздушных боях сбил лично 32 самолета противника и 14 - в группе.
Указом Президиума Верховного совета СССР от 24 августа 1943 г. лейтенанту Андрею Боровых было присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" ("за безграничную преданность Родине, за проявленную храбрость, мужество и отвагу").
Указом Президиума Верховного совета СССР от 23 февраля 1945 г. майор Андрей Боровых был награжден второй медалью "Золотая Звезда" ("за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецкими захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм").
После войны продолжал службу в Военно-воздушных силах (ВВС) СССР заместителем командира по летной части 157-й иап в Группе советских оккупационных войск в Германии (ГСОВГ, г. Дрезден). Летал на Як-9М. С июня по декабрь 1946 г. был командиром 233-го иап в ГСОВГ (гарнизон Перлеберг), пилотировал Як-3.
В 1951 г. стал выпускником Военно-воздушной академии (пос. Монино, Московская обл.), затем с июня по декабрь того же года занимал должность заместителя командира 9-й истребительной авиационной дивизии (пос. Кубинка, Московская обл.). Освоил реактивный истребитель МиГ-15.
В 1952-1955 гг. занимал должность командира 98-й гвардейской истребительной авиационной дивизии ПВО (г. Брянск), летал на МиГ-15 и МиГ-17.
В 1957 г. окончил Военную академию Генерального штаба ВС СССР, в ноябре того же года был назначен командиром 88-го истребительного авиационного корпуса противовоздушной обороны (ПВО) в г. Ржеве (Калининская, ныне Тверская обл.). С октября 1958 г. занимал должность первого заместителя командующего.
С августа 1959 г. по май 1960 г. командовал 52-й воздушной истребительной армией ПВО Московского военного округа. Летал на МиГ-17 и сверхзвуковом перехватчике МиГ-19.
В 1960-1963 гг. являлся командующим авиацией Московского округа ПВО. В 1963-1968 гг. - командующим 11-й отдельной армией ПВО (г. Хабаровск). В 1968 г. Андрею Боровых было присвоено звание генерал-полковник авиации.
В 1968-1969 гг. командовал 8-й отдельной армией ПВО (г. Киев, ныне Украина), а с 1969 г. - авиацией Войск ПВО СССР. В 1977 г. Андрей Боровых уволился в запас.
В 1977-1988 гг. работал военным консультантом Института военной истории Минобороны СССР.
Проживал в Москве.
В 1946-1950 гг. избирался депутатом Верховного Совета СССР второго созыва, в 1954-1958 гг. - депутатом Верховного Совета РСФСР четвертого созыва.
Умер 7 ноября 1989 г. на 69-м году жизни. Похоронен на Новодевичьем кладбище в Москве.
Генерал-полковник авиации (1968).
Был награжден двумя орденами Ленина (1943, 1967), пятью орденами Красного Знамени (дважды в 1942, 1943, 1945, 1955), орденами Александра Невского (1944), Отечественной войны I степени (1985), тремя орденами Красной Звезды (1955, 1971, 1982), орденом "За службу Родине в Вооруженных Силах СССР" III степени (1975), медалями, иностранными орденами и медалями.
Дважды Герой Советского Союза (1943, 1945).
Автор научных статей "Новая техника, оружие и человек" (1972), "Надежный щит Родины" (1985) и др.