Родился 17 октября 1939 г. в Харькове (Украинская ССР, ныне - Украина).
В 1958-1959 гг. работал корреспондентом агентства печати "Новости" и режиссером на Воркутинской студии телевидения.
В 1965 г. Константин Бромберг окончил в Москве сценарный факультет Всесоюзного государственного института кинематографии (ныне - Всероссийский государственный институт кинематографии им. С. А. Герасимова). Выпускник мастерской педагога Иосифа Маневича.
Получив высшее образование, работал режиссером, художественным руководителем студии детских и юношеских телефильмов творческого объединения "Экран". Поставил циклы телефильмов о дирижерах Евгении Мравинском и Герберте фон Караяне, литературоведе Ираклии Андроникове.
Широкую известность Константину Бромбергу принесла работа в художественном кинематографе. Дебютной для него стала короткометражная картина "Длинный день Кольки Павлюкова" (1968), за которой последовали драма "Был настоящим трубачом" (1973) и киноповесть "У меня есть лев" (1975). Большую популярность получил детский фильм "Приключения Электроника" по мотивам фантастических повестей Евгения Велтистова, телепремьера которого состоялась в 1980 г. Главные роли в нем исполнили мальчики-близнецы Юрий и Владимир Торсуевы, также в фильме снялись Николай Гринько, Николай Караченцов, Владимир Басов.
31 декабря 1982 г. на Центральном телевидении была впервые показана музыкально-комедийная киносказка Константина Бромберга "Чародеи", снятая по сценарию Аркадия и Бориса Стругацких. Роли в ней исполнили Александр Абдулов, Александра Яковлева, Екатерина Васильева, Валентин Гафт и другие известные актеры. Наряду с комедией Эльдара Рязанова "Ирония судьбы, или С легким паром!" (1975), "Чародеи" относятся к числу наиболее популярных отечественных новогодних фильмов.
В 1989 г. Константин Бромберг снял три сюжета для детского юмористического киножурнала "Ералаш".
В 1990-х гг. являлся руководителем студии детских и юношеских фильмов "Юнтелефильм". Также руководил режиссерской мастерской в негосударственном образовательном учреждении "Гуманитарный институт телевидения и радиовещания" (ныне - автономная некоммерческая организация высшего образования "Институт кино и телевидения, ГИТР").
С 1990-х гг. проживал в США. В 2001-2006 гг. читал лекции по киноискусству в ряде американских и канадских университетов.
В середине 2000-х гг. намеревался снять в России многосерийное продолжение "Приключений Электроника" с повзрослевшими главными героями, однако проект остался нереализованным.
Константин Бромберг скончался 10 января 2020 г. в Детройте (шт. Мичиган, США) на 81-м году жизни. Похоронен на еврейском кладбище Адат Шалом в г. Ливония (шт. Мичиган, США).
Являлся членом Союза кинематографистов РФ.
Заслуженный деятель искусств России (1996).
Лауреат Государственной премии СССР в области литературы, искусства и архитектуры 1982 г. (за постановку телефильма "Приключения Электроника").
Был женат на Людмиле Абрамовне Визельман. Дочь - Джинни, переводчица.