Родился 12 декабря 1928 г. в с. Знаменском (Донецкая область Украинской ССР, ныне - в черте пос. Черкасское Донецкой обл. Украины) в семье Федора Ивановича и Зинаиды Панкратовны Быковых. В 1938 г. переехал с родителями в Краматорск (Донецкая обл. Украинской ССР). В 1941-1943 гг. вместе с семьей находился в эвакуации в Барнауле.
В 1951 г. Леонид Быков окончил актерский факультет Харьковского театрального института (ныне - Харьковский национальный университет искусств им. И. П. Котляревского).
В 1951-1960 гг. - актер Харьковского государственного академического украинского театра им. Т. Г. Шевченко.
В 1960 г. переехал в Ленинград (ныне - Санкт-Петербург), в 1960-1969 гг. был актером и режиссером киностудии "Ленфильм".
С 1969 г. проживал в Киеве (Украинская ССР, ныне - Украина), работал на Киностудии им. А. П. Довженко.
Леонид Быков был широко известен в качестве киноактера. Дебютной для него стала роль деревенского парня Сашко в фильме Виктора Ивченко и Исаака Шмарука "Судьба Марины" (1953). Среди наиболее известных актерских работ: Петр Мокин в комедии "Укротительница тигров" (1954, режиссеры Александр Ивановский и Надежда Кошеверова), Максим Перепелица в одноименной комедии по роману Ивана Стаднюка (1955, Анатолий Граник), Алексей Акишин в фильме "Добровольцы" по произведению Евгения Долматовского (1958, Юрий Егоров), Павел Богатырев в фильме "Дорогой мой человек" по мотивам романа Юрия Германа "Дело, которому ты служишь" (1958, Иосиф Хейфиц), Алешка в мелодраме "Алешкина любовь" (1960, Семен Туманов и Георгий Щукин) и др.
В качестве режиссера Леонид Быков поставил четыре полнометражные картины: комедию "Зайчик" (1964), телефильм "Где вы, рыцари?" (1971), военные фильмы "В бой идут одни "старики" (1973) и "Аты-баты, шли солдаты…" (1976). Зрительское признание получили роли Быкова в двух последних лентах - командир эскадрильи Алексей Титаренко и ефрейтор Виктор Святкин.
Леонид Быков погиб 11 апреля 1979 г. в автокатастрофе рядом с пос. Дымер (Киевская обл. Украинской ССР) на 51-м году жизни. Похоронен на Байковом кладбище в Киеве.
Заслуженный артист РСФСР (1965). Народный артист Украинской ССР (1974).
Был награжден орденами "Знак Почета" (1967) и Октябрьской революции (1978). Лауреат Государственной премии Украинской ССР им. Т. Г. Шевченко 1977 г.
Был женат на Тамаре Константиновне Кравченко (1927-2010). Имел сына Александра (род. 1956) и дочь Марьяну (род. 1958).