Родился 2 августа 1934 г. в Павловском Посаде (Московская обл.). Отец, Федор Федорович, был сотрудником КГБ СССР, работал в Министерстве путей сообщения. Мать, Клавдия Ивановна, была домохозяйкой. Жил с родителями в Тегеране (Иран).
С 1-го по 6-й класс школы учился в Тегеране. Затем в Москве, где окончил среднюю школу и одновременно Московский аэроклуб ДОСААФ. В 1953 г. окончил 6-ю военную авиационную школу первоначального обучения летчиков, в 1955 г. - Качинское краснознаменное военное авиационное училище летчиков (ВАУЛ) им. А. Ф. Мясникова Северо-Кавказского военного округа, в 1968 г. - инженерный факультет Военно-воздушной инженерной академии имени Н. Е. Жуковского с присвоением квалификации "летчик-космонавт-инженер".
В 1973 г. защитил диссертацию кандидата технических наук в области автономной космической навигации.
С января 1956 г. служил летчиком, с декабря 1957 г. - старшим летчиком 23-го истребительного авиационного полка 17-й истребительной авиационной дивизии Московского округа ПВО. Инструктор парашютно-десантной подготовки ВВС (1960), военный летчик 1-го класса (1963). Выполнил более 100 прыжков с парашютом.
7 марта 1960 г. приказом Главкома ВВС был зачислен слушателем-космонавтом в отряд космонавтов Центра подготовки космонавтов ВВС (ныне - НИИ ЦПК им. Ю. А. Гагарина), вошел в число первых 20-ти летчиков, отобранных для полетов в космос (1-й отряд космонавтов). В январе 1961 г. назначен на должность космонавта. Затем был космонавтом-инструктором 2-го отряда (с января 1964 г.) и 1-го отряда (с марта 1966 г.) космонавтов. С 11 июля 1968 г. - командир отряда космонавтов, с 21 марта 1969 г. - начальник 3-го отдела 1-го управления (занимался подготовкой космонавтов по программам облета и высадки на Луну, международным программам ЭПАС и "Интеркосмос").
Входил в группу подготовки к первому пилотируемому полету на корабле "Восток" вместе с Юрием Гагариным, Григорием Нелюбовым, Андрияном Николаевым, Павлом Поповичем и Германом Титовым. Готовился к полету на корабле "Восток-3" по программе трехсуточного одиночного полета (полет отменили в связи с изменением программы). Был дублером пилота корабля "Восток-3" Андрияна Николаева, который вместе Павлом Поповичем (пилотировал корабль "Восток-4") совершил первый групповой полет.
Первый полет Валерий Быковский совершил 14-19 июня 1963 г. в качестве пилота корабля "Восток-5". Участвовал в совместном полете "Восток-5" и "Восток-6", пилотом которого была первая женщина-космонавт Валентина Терешкова.
В 1965-1967 гг. проходил подготовку к полету в качестве командира основного экипажа корабля "Союз-2". Полет был отменен накануне старта из-за неполадок на борту "Союза-1", с которым на орбите была запланирована стыковка.
В январе-сентябре 1968 г. готовился к полету в качестве командира на корабле Л-3 (по программе экспедиции на Луну). Программа была закрыта.
Во второй раз Быковский летал в космос 15-23 сентября 1976 г., был командиром корабля "Союз-22". Во время полета, который проводился в рамках программы "Интеркосмос", была испытана и отработана многозональная фотокамера МКФ-6, изготовленная в ГДР.
В ходе третьего полета - с 26 августа по 3 сентября 1978 г. - был командиром экипажа четвертой экспедиции посещения орбитальной станции "Салют-6" по программе "Интеркосмос". Вместе с космонавтом-исследователем 3игмундом Йеном (ГДР) стартовал на корабле "Союз-31", вернулся на "Союзе-29".
Общая продолжительность трех полетов в космос, совершенных Валерием Быковским, составила 20 суток 17 часов 48 минут 21 секунда.
Впоследствии был командиром дублирующего экипажа корабля "Союз-37" (стартовал 24 июля 1980 г.) и экспедиции посещения станции "Салют-6".
26 января 1982 г. отчислен из отряда космонавтов, но оставлен в должности начальника 3-го отдела 1-го управления Центра подготовки космонавтов и одновременно назначен ведущим инженером-испытателем. 9 октября 1986 г. переведен на должность начальника 13-го отдела этого же управления.
В апреле 1988 г. в звании полковника был уволен из Вооруженных сил СССР в запас (по возрасту).
С 1988 по 1990 г. являлся директором Дома советской науки и культуры в Берлине (ГДР).
Валерий Быковский скончался 27 марта 2019 г. на 85-м году жизни. 29 марта он был похоронен в дер. Леониха (городской округ Лосино-Петровский, Московская обл.), где жил.
Космонавт 1-го класса (1978).
Дважды Герой Советского Союза (1963, 1976). Награжден тремя орденами Ленина (1963, 1976, 1978), орденами Трудового Красного Знамени (1976), Красной Звезды (1961), Дружбы (2011).
Удостоен иностранных званий и наград: Герой Германской Демократической Республики (1978), Герой Социалистического Труда Народной Республики Болгария (НРБ), Герой Труда Социалистической Республики Вьетнам (1963), два ордена Карла Маркса (ГДР, 1976, 1978), орден Георгия Димитрова (Болгария, 1963), орден Крест Грюнвалъда I степени (Польша, 1963).
Отмечен золотой медалью К. Э. Циолковского Академии наук СССР, медалью "За освоение целинных земель" (1963), медалью де Лаво (Международная авиационная федерация, FAI) и др.
Летчик-космонавт СССР (1963).
Почетный гражданин городов: российских Павловский Пасад, Ржев, казахстанских Байконур (1976), Целиноград (ныне - Нур-Султан), Джезказган (ныне - Жезказган), болгарских Бургас, Варна.
Соавтор публикаций и книг: "Герои звездных трасс" (1963), "Здравствуй, Вселенная!" (1964), "Человек и космическая астронавигация" (1979).
Был женат. Супруга - Валентина Михайловна (род. 1938) - работала в музее Звездного городка. Сыновья: Валерий (1963-1985) - летчик военно-транспортной авиации ВВС, погиб в авиакатастрофе; Сергей (род. 1965) - бывший летчик-истребитель, ныне - директор автосервиса.
Заслуженный мастер спорта, имеет 3-й разряд по футболу, легкой атлетике, фехтованию.