Родился 23 апреля 1946 г. в Киеве (Украинская ССР, ныне Украина).
В 1968 г. окончил Киевский государственный институт физической культуры (ныне Национальный университет физического воспитания и спорта Украины).
Анатолий Бышовец является воспитанником киевской футбольной школы "Юный динамовец". Начинал играть под руководством тренеров Николая Мельниченко и Николая Фоминых.
С 1963 по 1973 г. выступал на позиции нападающего за киевское "Динамо". На протяжении всей клубной карьеры играл за этот клуб, проведя 139 матчей и забив 49 мячей. В составе команды Анатолий Бышовец стал четырехкратным чемпионом СССР (1966-1968, 1971) и обладателем Кубка страны (1966).
За сборную СССР в 1966-1972 гг. провел 39 матчей, в которых забил 15 мячей. В составе национальной команды занял четвертое место на чемпионате Европы 1968 г. (проходил в Италии). На чемпионате мира 1970 г. в Мексике четыре раза поразил ворота соперников, став самым результативным игроком советской сборной на турнире.
В 1973 г. завершил карьеру из-за травмы колена.
По окончании карьеры игрока Анатолий Бышовец стал футбольным тренером, начав работать в детской футбольной школе киевского "Динамо".
С 1982 по 1985 г. возглавлял юношескую сборную СССР (в 1984 г. привел ее к серебряным медалям чемпионата Европы в ФРГ).
В 1986-1988 гг. тренировал олимпийскую футбольную сборную страны. В 1988 г. под его руководством олимпийская сборная СССР выиграла футбольный турнир в рамках XXIV летней Олимпиады в Сеуле (Республика Корея), со счетом 2:1 в дополнительное время финального матча обыграв бразильцев.
В 1990-1992 гг. Анатолий Бышовец был главным тренером сборной СССР/СНГ.
В 1994-1995 гг. руководил сборной Республики Корея.
В июле 1998 г., сменив Бориса Игнатьева, стал главным тренером сборной России. В декабре того же года, после шести поражений команды подряд, оставил пост. Новым наставником сборной России стал Олег Романцев.
Анатолий Бышовец также работал с клубами. С 1988 по 1990 г. он возглавлял московское "Динамо". В 1992-1993 гг. тренировал клуб АЕЛ (Лимасол, Кипр).
В 1997-1998 гг. возглавлял санкт-петербургский "Зенит", в 1999 г. - донецкий "Шахтер" (Украина).
В 2003 г. был главным тренером клуба "Маритиму" (Фуншал, Португалия).
В 2005 г. тренировал "Томь" (Томск), в 2006-2007 гг. - московский "Локомотивом". Под его руководством столичный клуб в 2007 г. завоевал Кубок России.
Кроме этого, работал тренером-консультантом махачкалинского "Анжи" (2003) и краснодарской "Кубани" (2009).
В 2003-2004 гг. Анатолий Бышовец занимал пост вице-президента клуба "Химки" (Московская область). В 2004-2005 гг. был спортивным директором клуба "Хартс" (Эдинбург, Шотландия).
Заслуженный тренер СССР (1989). Заслуженный мастер спорта СССР (1991).
Награжден орденами Трудового Красного Знамени (1989) и Почета (1997). Отмечен Почетной грамотой правительства РФ (2006).
Женат. Сыновья - Валерий (начальник Управления товарной номенклатуры Федеральной таможенной службы РФ) и Сергей.