Родился 12 июля 1965 г. в г. Липецке. Его отец - Анатолий Константинович Чуйченко (род. 1936), служил в органах Министерства охраны общественного порядка СССР, в 1978-1983 гг. был прокурором г. Всеволжска Ленинградской области, в 1985 г. был переведен в Северо-Западную транспортную прокуратуру, где проработал до 1996 г.
В 1987 г. Константин Чуйченко окончил юридический факультет Ленинградского государственного университета им. А. А. Жданова (ныне Санкт-Петербургский государственный университет), где учился в одной группе с будущим президентом и премьер-министром РФ Дмитрием Медведевым. В 1992 г. завершил обучение в краснознаменном институте Комитета государственной безопасности (КГБ) СССР им. Ю. В. Андропова (ныне Академия внешней разведки), проходил краткосрочную стажировку в Германии.
В 1987–1989 гг. – стажер, следователь прокуратуры Калининского района г. Ленинграда (ныне Санкт-Петербург).
В 1989 г. был призван на военную службу, которую проходил на офицерских должностях в КГБ СССР.
С 1992 по 1994 г. работал исполнительным директором акционерного общества "Интерюраудит де Фариа и Т".
В 1994–2001 гг. – адвокат первой юридической консультации московского отделения Международной коллегии адвокатов "Санкт-Петербург".
В 2001–2008 гг. – начальник юридического департамента открытого акционерного общества "Газпром". С июня 2002 г. по июнь 2008 г. - член правления "Газпрома" (председателем правления компании в этот период был Дмитрий Медведев), с 2003 по 2008 г. – председатель президиума Третейского суда ОАО "Газпром" (коммерческий арбитражный суд, занимающийся рассмотрением споров между участниками международных сделок). В 2006 г. владел пакетом акций "Газпрома" на сумму 2 млн долларов США.
В 2003–2004 гг. как представитель "Газпрома" занимал пост председателя совета директоров ОАО "Газпром-медиа", владевшего телеканалами НТВ, ТНТ, радиостанцией "Эхо Москвы" и др.
В 2004–2008 гг. – исполнительный директор зарегистрированной в Швейцарии компании RosUkrEnergo AG, которая была создана в июле 2004 г. на паритетной основе российским ЗАО "Газпромбанк" (через Arosgas Holding AG, 100-процентную "дочку" ЗАО) и австрийским Raiffeisen Banking Group (через Raiffeisen Investment AG и Centragas). RosUkrEnergo AG осуществляла посредническую деятельность по перепродаже природного газа из России на Украине и в Восточной Европе.
13 мая 2008 г. Константин Чуйченко перешел на работу в администрацию главы государства Дмитрия Медведева, где занял должность помощника президента РФ – начальника Контрольного управления президента РФ. Сохранил свой пост после того, как в мае 2012 г. в должность главы государства вступил Владимир Путин.
С 18 мая 2018 г. по 21 января 2020 г. был заместителем председателя правительства РФ – руководителем Аппарата правительства РФ, возглавляемого Дмитрием Медведевым. Сменил в должности Сергея Приходько. Константин Чуйченко курировал планирование работы правительства и исполнение решений кабмина, эффективность работы федеральных органов исполнительной власти, организацию законопроектной деятельности, вопросы госслужбы, работу межправительственных комиссий, госполитику в сфере СМИ и массовых коммуникаций. В сферу его компетенции также входили контроль деятельности правоохранительных органов и органов юстиции, взаимодействие с органами судебной власти и прокуратуры. 15 января 2020 г. второе правительство Дмитрия Медведева ушло в отставку, до 21 января члены кабинета исполняли свои обязанности.
С 21 января 2020 г. Константин Чуйченко является министром юстиции РФ в правительстве Михаила Мишустина. В должности он сменил Александра Коновалова.
Член советов при президенте РФ по противодействию коррупции (с 2008 г., с 2010 г. - член президиума) и по делам казачества (с мая 2020 г.).
Являлся членом советов при президенте РФ по развитию информационного общества (2008–2012), по реализации приоритетных национальных проектов и демографической политике (с 2008 г., в 2008–2010 гг. входил в президиум), по развитию физической культуры и спорта (2008-2017, в 2009-2012 гг. - входил в президиум), по стратегическому развитию и национальным проектам (2018-2020, также входит в его президиум).
Был председателем Аттестационной комиссии правительства РФ (2018-2020), также в 2018-2020 гг. возглавлял правительственные комиссии по проведению административной реформы, по вопросам религиозных объединений, по развитию телерадиовещания.
Являлся председателем попечительского совета Фонда кино и председателем наблюдательного совета Фонда защиты прав граждан - участников долевого строительства (2019-2020).
Согласно опубликованной декларации о доходах и расходах в 2013 г., заработал 11 млн 260 тыс. руб., супруга – 2 млн 325 тыс. руб.
Сумма декларированного дохода за 2014 г. составила 16 млн 910 тыс. руб., супруги – 15 млн 157 тыс. руб.
Сумма декларированного дохода за 2015 г. составила 14 млн 181 тыс. руб., супруги – 23 млн 506 тыс. руб.
Сумма декларированного дохода за 2016 г. составила 12 млн 212 тыс. руб., супруги – 20 млн 70 тыс. руб.
Сумма декларированного дохода за 2017 г. составила 12 млн 219 тыс. руб., супруги – 10 млн 324 тыс. руб.
Сумма декларированного дохода за 2018 г. составила 13 млн 80 тыс. руб., супруги – 6 млн 564 тыс. руб.
Сумма декларированного дохода за 2019 г. составила 17 млн 805 тыс. руб., супруги – 17 млн 820 тыс. руб.
Сумма декларированного дохода за 2020 г. составила 20 млн 644 тыс. руб., супруги – 22 млн 7 тыс. руб.
Сумма декларированного дохода за 2021 г. составила 26 млн 441 тыс. руб., супруги – 18 млн 977 тыс. руб.
Действительный государственный советник РФ I класса (2008).
Действительный государственный советник юстиции (2020).
Награжден орденами "За заслуги перед Отечеством" III и IV степеней (2022, 2011), Почета (2006). Имеет благодарность президента РФ (2008).