Родился 16 июля 1928 г. в г. Твери (в 1931-1990 гг. - г. Калинин) в семье Дмитрия Никитовича Дементьева (1901-1992) и Марии Григорьевны Орловой (1908-1998). Отец был агрономом, мать вела домашнее хозяйство. В школьные годы посещал занятия в литературном кружке, начал писать стихи.
В 1946 г. поступил на историко-филологический факультет Калининского государственного педагогического института (ныне - Тверской государственный университет). В 1948 г. в калининской газете "Пролетарская правда" и альманахе "Родной край" было опубликовано его первое стихотворение - "Студенту".
В 1949 г. по совету поэта Сергея Наровчатова перевелся в Литературный институт им. А. М. Горького (Москва), где занимался на семинарах Михаила Луконина и Евгения Долматовского. Окончил столичный вуз в 1952 г.
Вернувшись в Калинин, приступил к журналистской деятельности. С 1953 г. был сотрудником газеты "Калининская правда", в 1955-1958 гг. являлся завотделом комсомольской жизни калининской газеты "Смена". В 1959 г. был принят в Союз писателей СССР.
В период с 1967 по 1972 г. работал инструктором, заместителем заведующего отделом агитации и пропаганды ЦК ВЛКСМ. Некоторое время возглавлял отдел поэзии в издательстве "Молодая гвардия".
В 1972-1981 гг. - первый заместитель главного редактора литературно-художественного журнала "Юность". В 1981-1993 гг. был главным редактором данного журнала. В эти годы в "Юности" публиковались произведения Василия Аксенова, Беллы Ахмадулиной, Бориса Васильева, Владимира Войновича, Евгения Евтушенко и других известных авторов.
В 1983-1991 гг. являлся членом комитета по Ленинским и Государственным премиям. Дважды избирался депутатом Моссовета.
С 1985 г. был первым заместителем председателя Советского комитета защиты мира (с 1990 г. - Российский фонд мира).
С конца 1980-х гг. вел телепередачу "Добрый вечер, Москва!" на Московском телевидении. В 1995-1997 гг. был автором и ведущим телепрограмм "Семейного канала".
В октябре 1990 г. подписал Римское обращение группы советских, а также эмигрантских русскоязычных литераторов с призывом предоставить "реальное право на самоопределение путем референдума или решения свободно избранного парламента" для всех народов, живущих в СССР. Среди авторов обращения были также Чингиз Айтматов, Виктор Астафьев, Иосиф Бродский, Василь Быков, Дмитрий Лихачев и др.
17 декабря 1995 г. баллотировался в Государственную думу РФ II созыва по Бежецкому одномандатному округу №172 (Тверская обл.) от блока Ивана Рыбкина. В Думу не прошел, набрав 4,27% голосов избирателей.
В 1997-2001 гг. работал директором ближневосточного представительства телеканала РТР в Израиле.
С 2001 г. являлся политическим обозревателем Радио России. В 2003-2006 гг. был одним из ведущих телепрограммы "Народ хочет знать" ("ТВ Центр").
В 2013 г. по его инициативе в Твери был открыт первый в стране Дом поэзии.
Андрей Дементьев являлся одним из наиболее известных отечественных поэтов второй половины XX в.
Он выпустил сборники "Лирические стихи" (1955), "Родное" (1958), "Глазами любви" (1962), "Солнце в доме" (1964), "Наедине с совестью" (1965), "Боль и радость" (1973), "Рядом ты и любовь" (1976), "Рождение дня" (1978), "Азарт" (1983), "Снег в Иерусалиме" (1993) и др. В общей сложности опубликовано несколько десятков его поэтических книг, а также сборники избранных произведений разных лет. Автор поэм "Мужество" (1958), "Дорога в завтра" (1960), "Россия" (1964). Сочинения поэта были переведены на несколько иностранных языков.
Андрей Дементьев был широко известен как автор множества лирических и патриотических песен. К числу наиболее известных относятся: "А я без Волги просто не могу", "Отчий дом", "Прекрасное имя - Россия", "Яблоки на снегу", "Поздняя любовь", "Расскажи мне, мама", "Лебединая верность", "Аленушка", "Баллада о матери", "Мы навек любовью ранены", "Каскадеры", "Я тебя рисую" и др.
Андрей Дементьев скончался 26 июня 2018 г. в Москве на 90-м году жизни. Похоронен 29 июня 2018 г. на столичном Кунцевском кладбище. В тот же день губернатор Тверской области Игорь Руденя сообщил, что имя Андрея Дементьева будет присвоено одной из улиц Твери. 26 июня 2018 г. стало известно, что Всероссийский поэтический конкурс "Поэзия Победы", организованный Музеем Победы, получил имя Андрея Дементьева.
С 2008 г. был членом Общественной палаты РФ, входил в состав ее комиссий по коммуникациям, информационной политике и свободе слова в средствах массовой информации, по развитию общественной дипломатии, гуманитарному сотрудничеству и сохранению традиционных ценностей и др.
Заслуженный деятель искусств РФ (2004).
Был награжден орденами "Знак Почета" (1970), Трудового Красного Знамени (1978), Октябрьской Революции (1984), Ленина (1988), "За заслуги перед Отечеством" III и IV степеней (2008, 1998), Почета (2013).
Был удостоен премии Ленинского комсомола (1981) и Государственной премии СССР (1985).
Отмечен Царскосельской художественной премией (2011) и премией Министерства обороны РФ в области культуры и искусства (2018).
Являлся почетным гражданином Твери (1999) и Тверской области (2008), почетным членом Российской академии художеств.
Был женат четвертым браком на Анне Пугач (род. 1957). От предыдущих браков имел дочь Марину (род. 1954), сына Дмитрия (1969-1996), также у него была приемная дочь - Наталия (род. 1960).