Родилась 21 июля 1939 г. в Ленинграде (ныне - Санкт-Петербург). Ее отец погиб на фронте во время Великой Отечественной войны, Нина Дробышева успела с матерью эвакуироваться из Ленинграда до начала блокады.
В школьные годы Нина Дробышева посещала занятия в драматическом кружке при Ленинградском дворце пионеров им. А. А. Жданова (ныне - Санкт-Петербургский городской дворец творчества юных). Будучи старшеклассницей, начала сниматься в кино. Исполнила небольшие роли в фильмах "Два капитана" (1955, режиссер Владимир Венгеров) и "Дорога правды" (1956, Ян Фрид).
В 1960 г. Нина Дробышева окончила драматическую студию при Ленинградском театре юных зрителей (ЛТЮЗ; ныне - Театр юных зрителей им. А. А. Брянцева, Санкт-Петербург). С 1958 г. по 1962 г. играла в спектаклях ЛТЮЗа. Получила известность как исполнительница роли Джульетты в спектакле "Ромео и Джульетта" по трагедии Уильяма Шекспира.
С 1962 г. по н. в. - актриса Московского государственного академического театра им. Моссовета. Была задействована в постановках: "Цезарь и Клеопатра" по пьесе Бернарда Шоу, "Глазами клоуна" по роману Генриха Бёлля, "Вечерний свет" по произведению Алексея Арбузова, "Эдит Пиаф" по пьесе Виктора Легентова, "Они сражались за Родину" по роману Михаила Шолохова, "Чайка" по пьесе Антона Чехова, "Кейкуок" по произведению Питера Фейблмана, "Долгое путешествие в ночь" по драме Юджина О'Нила и др. Исполняет роли в спектаклях текущего репертуара: Фрау Шмитт в "Морском путешествии 1933 года" на тему фильма Стэнли Крамера "Корабль дураков", Феона в "Не все коту масленица" по пьесе Александра Островского, Катерина Ивановна в "Р. Р. Р." по мотивам романа Федора Достоевского "Преступление и наказание".
Среди наиболее известных киноработ: Саша Львова в драме "Чистое небо" (1961, режиссер Григорий Чухрай) и Полина Вихрова в фильме "Русский лес" (1964, Владимир Петров). Последняя роль к настоящему времени - Ольга Кирилловна Обрезкова в драме Андрея Смирнова "Француз" (в июне 2019 г. фильм закрывал кинофестиваль "Кинотавр", его выход в широкий прокат запланирован на октябрь 2019 г.). В общей сложности Нина Дробышева снялась в 20 фильмах (не считая фильмов-спектаклей).
Член Союза кинематографистов РФ.
Народная артистка РСФСР (1985).
Награждена орденом Почета (2010).
Лауреат премии гор. Москвы в области литературы и искусства (2017).
Обладательница приза международного театрального форума "Золотой витязь" за роль Мэри Кэван Тайрон в спектакле "Долгое путешествие в ночь" (2009).
Дважды была замужем. Первый супруг - народный артист РФ Виталий Коняев (род. 1937). От брака с ним - дочь Елена Дробышева (род. 1964, актриса). Второй супруг - заслуженный артист РФ Вячеслав Бутенко (род. 1942). От брака с ним - дочь Христина.