Родился 26 ноября 1937 г. в Москве в семье советского нейрохирурга будущего академика Академии медицинских наук (АМН) СССР Бориса Григорьевича Егорова.
В 1961 г. окончил Первый Московский медицинский институт им. И. М. Сеченова (1-й ММИ; ныне Первый Московский государственный медицинский университет им. И. М. Сеченова) по специальности "лечебное дело".
Доктор медицинских наук. В 1967 г. защитил кандидатскую диссертацию по теме "Некоторые особенности афферентных связей нейронов вестибулярных ядер", в 1979 г. - докторскую диссертацию по теме "Теоретические основы и система управления состоянием человека в условиях невесомости". В 1982 г. ему было присвоено звание профессора.
С 1960 г. Борис Егоров начал работать лаборантом в Центре подготовки космонавтов Военно-воздушных сил, ВВС (ныне Научно-исследовательский испытательный центр подготовки космонавтов им. Ю. А. Гагарина).
Затем был переведен в Государственный научно-исследовательский испытательный институт авиационной и космической медицины Минобороны СССР (ГНИИАиКМ, ныне научно-исследовательский испытательный центр авиационно-космической медицины и военной эргономики в составе Центрального научно-исследовательского института ВВС Минобороны РФ). Работал врачом-лаборантом, после окончания 1-го ММИ был назначен на должность младшего научного сотрудника.
С 1961 г. входил в группу врачей-парашютистов, созданную для оказания медицинской помощи космонавтам сразу на месте их приземления по окончании космического полета.
В январе 1964 г. стал младшим научным сотрудником лаборатории №1 Института космической биологии и медицины Минздрава СССР (с 1965 г. - Институт медико-биологических проблем, ныне ИМБП РАН). В марте того же года был назначен заведующим лабораторией "КЛ" института.
В мае 1964 г. Борис Егоров был зачислен в группу кандидатов на космический полет в качестве врача-космонавта. В октябре 1964 г. - утвержден в состав основного экипажа космического корабля "Восход-1".
12-13 октября 1964 г. Борис Егоров совершил свой единственный полет в космос - на советском "Восходе-1", первом в мире многоместном космическом корабле. В экипаж также входили Владимир Комаров (командир) и Константин Феоктистов. Егоров, осуществляющий медицинский контроль за состоянием здоровья членов экипажа, стал первым в мире врачом, который непосредственно в условиях космического полета изучал действие невесомости на организм человека. Полученные материалы исследований он обобщил в своей кандидатской диссертации. Всего экипаж "Восхода-1" провел в полете 1 день и 17 минут.
В дальнейшем Борис Егоров, работая в ИМБП, изучал функции вестибулярного аппарата в условиях, моделирующих факторы космического полета. Его исследования были использованы при разработке средств и методов противодействия развития синдрома укачивания космонавтов в полетах.
Также он осуществлял руководство космическими проектами. В 1965-1966 гг. возглавлял работы по подготовке и проведению экспериментов на первом в мире длительно существовавшем биоспутнике "Космос-110", в 1968-1974 гг. - работы по организации системы медицинского обеспечения создаваемых орбитальных станций "Салют", в 1975 г. - работы по медобеспечению первого совместного советско-американского космического полета "Союз - Аполлон".
В период с 1970 по 1984 г. возглавлял разные отделы в ИМБП.
В 1970-1994 гг. был заместителем председателя комитета биоастронавтики Международной астронавтической федерации.
В 1975-1979 гг. являлся научным руководителем созданного при его непосредственном участии Центра управления медицинским обеспечением космических объектов.
С июня 1984 г. по апрель 1992 г. был первым директором Научно-исследовательского института биомедицинской технологии (впоследствии Научно-производственный центр медицинской технологии), организованного при Минздраве.
В 1992-1993 гг. работал советником президента "Телебанка".
Борис Егоров скончался 12 сентября 1994 г. в Москве на 57-м году жизни от сердечной недостаточности. Похоронен на Новодевичьем кладбище.
Имел квалификацию космонавта III класса (1964), был полковником медицинской службы запаса (1989).
Являлся специалистом в области молекулярной биологии и физиологии клетки. Автор и соавтор более 120 научных публикаций и докладов, 16 изобретений и 2 рационализаторских предложений.
За полет в космос был удостоен звания Героя Советского Союза (1964) и почетного звания "Летчик-космонавт СССР" (1964). Был награжден орденами Ленина (1964), Трудового Красного Знамени (1976).
Имел иностранные звания и награды: почетное звание Героя Демократической Республики Вьетнам (1964), орден Государственного знамени Венгерской Народной Республики (1971) и др.
Также был награжден золотой медалью им. К. Э. Циолковского Академии наук СССР (1964) и др. медалями.
Являлся членом Международной академии астронавтики, доктором медицины Берлинского университета им. Гумбольдта (ГДР, ныне ФРГ).
Был удостоен звания почетного гражданина городов: Калуги (1964), Ленинска (ныне Байконур, Казахстан; 1977), Клермон-Феррана (Франция), Дебрецена (Венгрия).
Его именем назван кратер на обратной стороне Луны.