Родился 13 июля 1934 г. в г. Жиздре Западной области РСФСР (ныне - Калужская область) в семье Станислава Адамовича Курайтиса и Валентины Ивановны Елисеевой. Отец - литовец по происхождению, в 1935 г. подвергся репрессиям и был осужден на пять лет, после освобождения из заключения в семью не вернулся. Мать - доктор технических наук, профессор, заведовала лабораторией Института физической химии Академии наук (АН) СССР. Воспитывался отчимом, в 1950 г. взял фамилию матери.
Образование, ученые звания
В 1957 г. окончил Московское высшее техническое училище (МВТУ, ныне - Московский государственный технический университет) им. Н. Э. Баумана по специальности "инженер-механик". В 1960-1962 г. прошел обучение в очной аспирантуре Московского физико-технического института (МФТИ).
Доктор технических наук, профессор. В 1967 г. в Центральном конструкторском бюро экспериментального машиностроения (ЦКБЭМ, бывш. ОКБ-1, впоследствии - НПО "Энергия", ныне - РКК "Энергия" им. С. П. Королева) защитил кандидатскую диссертацию, в 1973 г. - докторскую.
Работа на инженерных должностях
С марта 1957 г. по январь 1960 г. - инженер лаборатории №6 НИИ-1 Минавиапрома СССР (бывш. Реактивный научно-исследовательский институт, ныне - Исследовательский центр им. М. В. Келдыша, Москва).
С июня 1962 г. работал старшим техником 27-го отдела ОКБ-1, которым руководил конструктор Сергей Королев. С февраля 1963 г. был старшим инженером того же отдела. Проектировал системы управления пилотируемых космических кораблей "Восток-3А", "Восход-3В", "Союз" (7К-ОК), а также корабля для облета Луны (7К-Л1).
В отряде космонавтов
23 мая 1966 г. Алексей Елисеев был зачислен в отряд космонавтов (отдел №731) ЦКБЭМ, образованный в том же году. Стал одним из восьми инженеров конструкторского бюро, утвержденных для участия в испытаниях "Союза" и лунных кораблей.
В 1966-1968 гг. возглавлял группу испытателей, затем космонавтов-испытателей отдела №731. С 1969 г. был космонавтом-инструктором III класса, затем космонавтом-испытателем II класса, с 1970 г. - инструктором-космонавтом-испытателем II класса, в 1971-1974 гг. - инструктором-космонавтом-испытателем I класса. Одновременно занимал должности старшего научного сотрудника (1968-1973), начальника сектора (1969), заместителя начальника отдела №731 (1969-1970), и. о. руководителя комплекса №7 (1973-1974) ЦКБЭМ.
В 1967 г. входил в состав основного экипажа корабля "Союз-2", но полет был отменен после случившейся в апреле катастрофы "Союза-1" и гибели Владимира Комарова при приземлении. Затем проходил подготовку в рамках лунной программы СССР.
Первый космический полет Алексей Елисеев совершил 15-17 января 1969 г. в качестве бортинженера корабля "Союз-5" вместе Борисом Волыновым (командир) и Евгением Хруновым. Во время полета впервые в мире была выполнена стыковка двух пилотируемых кораблей, в ходе которой Елисеев и Хрунов осуществили переход через открытый космос из "Союза-5" в "Союз-4".
13-18 октября 1969 г. был бортинженером "Союза-8" (командир - Владимир Шаталов), участвовал в первом групповом полете трех пилотируемых кораблей. В ходе полета было отработано одновременное управление кораблями, маневрирование, взаимодействие экипажей, проведены научно-технические эксперименты. Елисеев и Шаталов провели экспериментальный сеанс связи с Центром управления полетами (ЦУП) через первый советский спутник связи "Молния-1" (был запущен в 1965 г.).
В третий раз отправился в космос 23 апреля 1971 г. бортинженером корабля "Союз-10" с Владимиром Шаталовым (командир) и Николаем Рукавишниковым. Программой была предусмотрена стыковка с первой орбитальной станцией "Салют" и работа на ней. Но из-за поломки стыковочного узла "Союза-10" не удалось обеспечить герметичность стыка для безопасного перехода экипажа на станцию. Полет был прерван и 25 апреля космонавты возвратились на Землю.
В общей сложности за три полета Алексей Елисеев провел в космосе 8 суток 22 часа 22 минуты. Совершил один выход в открытое космическое пространство (37 минут).
С июня 1974 г. по декабрь 1985 г. был заместителем генерального конструктора НПО "Энергия" Валентина Глушко. Одновременно возглавлял комплекс №11 предприятия, руководил полетами пилотируемых кораблей в ЦУПе. С января 1982 г. также занимал должность инструктора-космонавта-испытателя I класса.
19 декабря 1985 г. был отчислен из отряда космонавтов НПО "Энергия", до конца года продолжал работать заместителем Глушко.
После ухода из отряда
2 января 1986 г. Алексей Елисеев был назначен ректором МВТУ им. Н. Э. Баумана. Возглавлял вуз до 1991 г.
Избирался депутатом Верховного Совета СССР XI созыва (1984-1989), народным депутатом СССР (1989-1991). В 1986-1991 гг. - заместитель председателя Парламентской группы СССР. С января 1991 г. - руководитель депутатской группы по связям с региональными межпарламентскими организациями Европы ВС СССР.
В 1987-1992 гг. возглавлял Советское общество по культурным связям с соотечественниками за рубежом (впоследствии - Ассоциация по связям с соотечественниками за рубежом "Родина"). Входил в состав центрального правления Общества советско-болгарской дружбы.
В 1991-1996 гг. - руководитель проектов в представительстве американской компании IBM ("Ай-би-эм") в Москве.
С января 1997 г. занимал пост президента АОЗТ "Фесто" (ныне - ООО "Фесто-РФ"), московского офиса немецкого концерна FESTO. В 1999 г. стал основателем и первым директором российско-германского института бизнеса и промышленной автоматики "МЭИ-Фесто", созданного при поддержке FESTO в структуре Московского энергетического института с целью обучения студентов по специальности "автоматизация технологических процессов и производств".
Награды, почетные звания, книги, памятник
Дважды Герой Советского Союза (1969 - за первый и второй полеты). Лауреат Государственной премии СССР (1980). Награжден четырьмя орденами Ленина (дважды - в 1969 г., а также в 1971 и 1976 гг.), медалью "За заслуги в освоении космоса" (2011).
Герой Социалистического Труда Народной Республики Болгария и кавалер ордена Георгия Димитрова (Болгария).
В числе наград космонавта - золотая медаль им. К. Э. Циолковского АН СССР (1969), медаль де Лаво (1969) и золотая медаль им. Ю. А. Гагарина (1971) Международной авиационной федерации (FAI).
Летчик-космонавт СССР (1969). Почетный гражданин Жиздры, Калуги (1969), Сыктывкара (1972), Байконура (1977) и др. городов.
Автор книг "Техника космических полетов" (1983), "Жизнь - капля в море" (1998).
В Жиздре установлен бронзовый бюст Алексея Елисеева (1978). Имя космонавта носит сквер в его родном городе.
Семья
Женат вторым браком. Супруга - Лариса Ивановна Комарова, работала начальником сектора в НПО "Энергия". Первой женой была Валентина Павловна Шпаликова, старший инженер Центрального научно-исследовательского института автоматики и гидравлики.
Дочь от первого брака - Елена Елисеева (1960-2016), художник-постановщик кино, кандидат искусствоведения, преподавала во Всероссийском государственном институте кинематографии им. С. А. Герасимова.