Родился 18 февраля 1921 г. в Одессе (Украина) в семье Бориса Иосифовича и Цили Абрамовны Фельцман. Его отец был хирургом-ортопедом, мать вела домашнее хозяйство.
В пять лет Оскар Фельцман начал посещать занятия в музыкальной школе педагога Петра Столярского (с 1933 г. - музыкальная школа-интернат для одаренных детей, ныне Одесская средняя специальная музыкальная школа-интернат им. профессора П. С. Столярского). В 1938 г. окончил ее с отличием по классу композиции Николая Вилинского и по классу фортепиано Берты Рейнгбальд.
В 1939-1941 гг. учился в Московской государственной консерватории им. П. И. Чайковского по классу композиции профессора Виссариона Шебалина.
С осени 1941 г. Оскар Фельцман работал в эвакуации в Новосибирске, занимал должность секретаря Сибирского отделения Союза композиторов СССР. До 1942 г. был дирижером, заведующим музыкальной частью эвакуированного из Минска Белорусского государственного еврейского театра. В 1942-1944 гг. являлся музыкальным руководителем Новосибирского молодежного театра.
С 1945 г. проживал и работал в Москве. В конце 1940-х - начале 1950-х гг. преимущественно сочинял музыку для театральных и цирковых постановок, написал ряд оперетт (1948 - "Воздушный замок", 1951 - "Шумит Средиземное море", 1952 - "Суворочка").
С середины 1950-х гг. Оскар Фельцман активно работал как композитор-песенник. В 1954 г. известность ему принесла песня "Теплоход" на стихи Виктора Драгунского и Людмилы Давидович, которую исполнил Леонид Утесов. Успех композитора в 1958 г. закрепили песни "Ландыши" (стихи Ольги Фадеевой, первая исполнительница Нина Дорда) и "Черное море мое" (стихи Михаила Матусовского; прозвучала в кинофильме Исидора Анненского "Матрос с "Кометы" в исполнении Глеба Романова).
В дальнейшем Оскар Фельцман сотрудничал с поэтами-песенниками Владимиром Харитоновым ("Есть у любви печали", "Планета-целина", "Просили вы", "Я сегодня весна"), Робертом Рождественским ("Баллада о знамени", "Баллада о красках", "Огромное небо", "Встретились два человека"), Евгением Долматовским ("Венок Дуная", "Возвращение", "Помнят люди"), Игорем Шафераном ("А я говорю", "Двое", "Не было печали", "Письмо без адреса"), Львом Ошаниным ("А ты будь нежна", "Моя Отчизна", "Ничего не вижу"), Наумом Олевым ("Вы не со мной", "Никогда", "За полчаса до весны", "Манжерок") и др. Его песни исполняли Марк Бернес, Иосиф Кобзон, Муслим Магомаев, Владимир Трошин, Юрий Гуляев, Эдита Пьеха, Валентина Толкунова и другие популярные артисты, а также вокально-инструментальные ансамбли "Веселые ребята", "Голубые гитары", "Добры молодцы", "Пламя".
В 1970-х гг. композитор вновь обратился к жанру оперетты, создав музыку к постановкам "Тетка Чарлея", "Старые дома" и "Пусть гитара играет" (шли на сцене Свердловского театра музыкальной комедии, впоследствии - в театрах других городов). В тот же период он написал музыку к мультипликационным фильмам режиссера Владимира Дегтярева "Как ослик счастье искал" (1971), "Новогодняя сказка" (1972) и "Волшебные фонарики" (1973), драме "Зимородок" по произведению Юрия Яковлева (1972, режиссер Вячеслав Никифоров), мелодраме "Это сильнее меня" (1973, Федор Филиппов), шпионскому фильму "Скворец и Лира" (1974, Григорий Александров).
В середине 1980-х гг. Оскар Фельцман был художественным руководителем музыкального ансамбля "Огни Москвы", солисткой которого являлась Ирина Аллегрова.
В первой половине 1990-х гг. популярность получила немецкоязычная версия песни "Ландыши", которую под названием "Карл-Маркс-Штадт" исполнила рок-группа Олега Нестерова "Мегаполис".
Среди других сочинений Оскара Фельцмана: кантаты "Хлеб" и "Цвети, республика моя", оратория "Родина", вокальные циклы "Испанские сюжеты" и "Песни былого".
Оскар Фельцман скончался 3 февраля 2013 г. в Москве на 92-м году жизни. Похоронен на столичном Новодевичьем кладбище.
Заслуженный деятель искусств РСФСР (1972). Народный артист РСФСР (1989).
Был награжден орденами Дружбы (1996) и "За заслуги перед Отечеством" II, III и IV степеней (2011, 2006, 2001).
Автор книг "Костюм от Фишмана и другое" (1997), "Не только воспоминания" (2000).
Был женат на Евгении Петровне Кайдановской (1920-2000, выпускница Московской консерватории). Сын - Владимир Фельцман (род. 1952, пианист).