Родился 26 мая 1944 г. в Москве в семье трубача Михаила Фрумкина. В пять лет начал играть на фортепиано.
В 1962 г. окончил Центральную музыкальную школу при Московской государственной консерватории им. П. И. Чайковского по классу фортепиано, затем учился на вечернем отделении Московской консерватории. В 1963-1966 гг. проходил службу в Советской армии.
Творческая деятельность
В середине 1960-х гг. Борис Фрумкин выступал как пианист на московских джазовых сценах с ансамблем, в состав которого также входили трубач Андрей Товмасян и саксофонист Виталий Клейнот. Также играл в составе джазового квинтета "Крещендо".
С 1966 по 1973 г. - пианист и аранжировщик в Концертном эстрадном оркестре Всесоюзного радио и Центрального телевидения под руководством Вадима Людвиковского.
В 1973-1982 гг. Борис Фрумкин был пианистом и аранжировщиком, в 1982-1992 гг. - художественным руководителем и дирижером инструментального ансамбля "Мелодия". Этот коллектив преимущественно исполнял эстрадно-джазовые композиции. В 1988-1989 гг. "Мелодия" участвовала в советско-американской постановке мюзикла Sophisticated ladies на музыку Дюка Эллингтона. Представления прошли в Москве, Ленинграде (ныне Санкт-Петербург), Тбилиси (Грузинская ССР, ныне Грузия) и Вашингтоне.
В 1980-х гг. Борис Фрумкин написал музыку к фильмам "Шофер на один рейс" (1981, режиссер Вадим Зобин), "Время для размышлений" (1982, Сергей Ашкенази), "Когда становятся взрослыми" (1985, Сергей Ашкенази).
В 1988 г. был принят в Союз композиторов РСФСР.
В начале 1990-х гг. работал пианистом в Афинах (Греция) и Москве. В 1994 г. вместе с коллективом музыкантов выступал в одном из ресторанов Цюриха (Швейцария).
С 1996 по 2006 г. Борис Фрумкин проживал в Кельне и Берлине (Германия), работал как пианист и аранжировщик, участвовал в джазовых концертах.
С 2007 г. по н. в. - художественный руководитель Государственного камерного оркестра джазовой музыки имени Олега Лундстрема.
Среди наиболее известных композиций Бориса Фрумкина: "Романтический вальс", "Самарская ярмарка", "Ритмы большого города", "Осенняя любовь", "Звезды над головой", "Вспоминая друга", "Счастливого пути". Автор джазовой сюиты "Времена года".
Признание
Народный артист РФ (2014).
Личные сведения
Дочь - актриса, лауреат премии президента РФ для молодых деятелей культуры Анна Чиповская (род. 1987).