Родился 10 ноября 1951 г. в Москве. Отец, Леонид Леонидович, был руководителем лаборатории Центрального института автомобильного и автомоторного транспорта (НАМИ).
В 1974 г. Александр Гинцбург окончил биологический факультет Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова. Во время учебы начал заниматься научной работой на кафедре вирусологии под руководством биолога и биохимика, действительного члена Академии наук СССР Андрея Белозерского.
Доктор биологических наук. В 1981 г. защитил кандидатскую диссертацию по теме "Влияние мутаций Escherichia coli, изменяющих фактор терминации транскрипции, на развитие четных Т-фагов", в 1989 г. - докторскую диссертацию по теме "Формирование, распространение и экспрессия детерминант патогенности Vibrio cholerae и jersinia Pseudotuberculosis - процессы, определяемые мигрирующими генетическими элементами".
Профессор (1996).
В 2000 г. Александр Гинцбург был избран членом-корреспондентом Российской академии медицинских наук (РАМН), в 2004 г. - академиком РАМН. С 2013 г. - действительный член Российской академии наук (РАН), член Отделения медицинских наук (секция профилактической медицины).
После окончания МГУ семь лет работал в биологическом отделе Института атомной энергии им. И. В. Курчатова (ныне Государственный научно-исследовательский институт генетики и селекции промышленных микроорганизмов Национального исследовательского центра "Курчатовский институт", Москва), который в то время был центром молекулярно-генетических исследований в СССР. Ученик биохимика и генетика Романа Хесина-Лурье.
В 1982 г. Александр Гинцбург был принят на работу старшим научным сотрудником в Научно-исследовательский институт эпидемиологии и микробиологии им. почетного академика Н. Ф. Гамалеи Академии медицинских наук СССР (впоследствии НИИ эпидемиологии и микробиологии им. почетного академика Н. Ф. Гамалеи РАМН, Москва). В 1989 г. возглавил лабораторию генной инженерии патогенных микроорганизмов. В 1995-1997 гг. являлся заместителем директора института.
В 1997 г. был назначен врио директора, в 1999 г. - директором НИИ эпидемиологии и микробиологии им. почетного академика Н. Ф. Гамалеи РАМН (ныне Национальный исследовательский центр эпидемиологии и микробиологии, НИЦЭМ, им. почетного академика Н. Ф. Гамалеи Минздрава РФ). С тех пор возглавляет НИЦЭМ им. Н. Ф. Гамалеи.
Является председателем Научного совета по комплексной проблеме "Микробиология" (базовая организация - НИЦЭМ им. Н. Ф. Гамалеи).
Одновременно с 2000 г. заведует кафедрой инфектологии и вирусологии Института профессионального образования Первого Московского государственного медицинского университета им. И. М. Сеченова (Москва).
Александр Гинцбург - один из ведущих российских специалистов в области молекулярной биологии и генетики патогенных организмов. Выдвинул и обосновал положение о том, что гены факторов патогенности входят в состав мобильных генетических элементов, что дает возможность быстрой адаптации патогенных бактерий к условиям существования. Разработал подходы к терапии хронических инфекций на основе антипатогенных препаратов, понижающих или блокирующих вирулентность бактерий, в результате чего с инфекцией могли бы справиться иммунные системы организма.
Помимо теоретических исследований руководил разработкой противовирусного препарата "Циклоферон", вакцин от лихорадки Эбола ("ГамЭвак" и "ГамЭвак-Комбо", 2016) и нового коронавируса ("Спутник V", 2020; "Спутник лайт", 2021).
Автор и соавтор более 300 научных трудов. Среди них: "Эпидемиологические аспекты экологии бактерий" (1997), "Механизмы выживания бактерий" (2005), "Применение ПЦР в бактериологии" (2006) и др.
Член правления Всероссийского научно-практического общества эпидемиологов, микробиологов и паразитологов.
Член редколлегий российских научных изданий: "Журнала микробиологии, эпидемиологии и иммунобиологии", журнала "Молекулярная генетика, микробиология и вирусология".
Награжден орденами Дружбы (2019), Александра Невского (2021).
Лауреат Государственной премии РФ в области науки и технологий 2020 г. ("за разработку и внедрение в практику отечественного здравоохранения эффективных рекомбинантных вакцин против лихорадки Эбола и новой коронавирусной инфекции (COVID-19), а также за разработку технологии конструирования вирусных систем доставки кассет со вставкой гена гликопротеина вируса Эбола и гена S-белка SARS-CoV-2"), премий правительства РФ в области науки и техники 2003 г. ("за разработку технологии, организацию промышленного выпуска и внедрение в медицинскую практику готовых лекарственных форм нового отечественного препарата "Циклоферон") и 2012 г. ("за создание высокоэффективных биотехнологических платформ, разработку инновационных технологий и организацию промышленного производства терапевтических рекомбинантных белков на их основе").
В число наград входит орден "За Заслуги" (Гвинейская Республика, 2018).
Женат. Супруга Нелля, дочь Елизавета. Обе они работают в НИЦ им. Гамалеи.