Родился 7 июля 1984 г. в г. Жмеринка Винницкой области Украинской ССР (ныне – Украина).
Окончил среднюю школу в г. Городня Черниговской области. С 2001 по 2006 г. учился в Институте права им. князя Владимира Великого Межрегиональной академии управления персоналом, получил квалификацию магистра права. В 2012 г. окончил Национальную академию государственного управления при президенте Украины. Выпускник киевского отделения Института Аспена (Aspen Institute; международная некоммерческая организация) и программы Киево-Могилянской бизнес-школы "Стратегический архитектор".
По данным СМИ, имеет ученую степень (PhD) в области права.
После завершения учебы работал младшим юристом на Городнянском заводе продтоваров.
С 2005 г. был юристом в инвестиционной компании "Приор инвест" (PRIOR-Invest, Киев). В 2006-2008 гг. возглавлял юридический отдел этой компании.
По данным украинских СМИ, также Гончарук был помощником народного депутата от Партии регионов Сергея Майбороды в Верховной раде VI созыва (2007-2012 гг.).
В 2008-2014 гг. - арбитражный управляющий, основатель и управляющий партнер юридической фирмы "Констрактив лойерс" (Constructive Lawyers; юридические услуги в сфере инвестирования и финансирования строительства недвижимости).
С 2009 г. - глава украинской общественной организации "Ассоциация помощи пострадавшим инвесторам". Был заместителем генерального директора Первой украинской индустриально-инвестиционной компании, председателем третейского суда при Союзе инвесторов Украины.
В январе 2013 г. Алексей Гончарук стал одним из учредителей партии "Сила людей". На внеочередных выборах в Верховную раду VIII созыва 26 октября 2014 г. возглавлял список кандидатов от партии. В парламент не прошел, так как "Сила людей" получила всего 0,11% голосов избирателей. В январе 2018 г. Алексей Гончарук вышел из партии.
С сентября 2015 г. по май 2019 г. являлся главой Офиса эффективного регулирования (Better Regulation Delivery Office; BRDO) - независимого экспертно-аналитического центра, созданного Министерством экономического развития Украины при поддержке западных грантовых проектов. Организация занимается "разработкой и внедрением эффективной системы регулирования на Украине, направленной на создание лучшей среды для бизнеса и благоприятного инвестиционного климата".
В разные годы работал внештатным советником бывшего министра экологии и природных ресурсов Игоря Шевченко и советником первого вице-премьер-министра - министра экономического развития и торговли Украины Степана Кубива.
28 мая 2019 г. указом нового президента Украины Владимира Зеленского Алексей Гончарук был назначен заместителем председателя администрации главы государства. 20 июня ведомство было переименовано в офис президента Украины. В связи с этим 25 июня Алексей Гончарук занял пост заместителя руководителя офиса главы государства. Курировал блок экономического развития и продолжения реформ.
29 августа 2019 г. Верховная рада IX созыва утвердила Алексея Гончарука премьер-министром Украины. Его кандидатура была предложена президентом Владимиром Зеленским и поддержана 290 голосами депутатов при 226 необходимых. 35-летний Гончарук стал самым молодым премьером в истории Украины (сменил Владимира Гройсмана).
17 января 2020 г. Алексей Гончарук написал заявление об отставке с поста премьер-министра Украины . Об этом он сообщил на своей странице в социальной сети "Фейсбук" (соцсеть запрещена в РФ; она принадлежит корпорации Meta, которая признана в РФ экстремистской). По словам Гончарука, решение было принято им, "чтобы избежать любые сомнения нашего уважения и доверия к президенту". Ранее в сети были опубликована аудиозапись совещания у премьер-министра, во время которой Гончарук нелицеприятно отзывался о действующем президенте Владимире Зеленском. В тот же день глава украинского государства отказался удовлетворить заявление Алексея Гончарука об отставке, заявив, что готов дать ему и правительству шанс. Владимир Зеленский поручил правительству решить ряд задач и подготовить отчет о работе до 4 февраля 2020 г. для предоставления его депутатам Верховной рады.
3 марта 2020 г. на заседании парламентской фракции партии "Слуга народа" спикер Верховной рады Дмитрий Разумков сообщил, что премьер-министр Алексей Гончарук написал заявление об отставке. После этого присутствовавший на заседании президент Украины Владимир Зеленский предложил на пост главы правительства кандидатуру вице-премьера Дениса Шмыгаля. Фракция эту инициативу поддержала. 4 марта 2020 г. Верховная рада Украины отправила Алексея Гончарука в отставку. Это решение поддержали 353 депутата при необходимых 226.
Алексей Гончарук возглавлял кабинет министров в течение полугода. В феврале 2020 г., выступая в парламенте с отчетом о работе правительства, он отнес к числу достижений своего кабинета заключение контракта с РФ на транзит газа в декабре 2019 г. Под руководством Гончарука правительство объявило о начале "масштабной приватизации" около 1 тыс. объектов государственного имущества, в том числе ряда крупных украинских предприятий. Также кабинет министров провел так называемую электронную перепись населения, используя данные мобильных операторов и ряда электронных реестров, и начал реализовывать инициативу по предоставлению гражданам цифровых госуслуг в рамках проекта "Страна в смартфоне". По распоряжению президента Украины кабинет министров подготовил и внес на рассмотрение в парламент законопроект о рынке земель сельскохозяйственного назначения, предусматривающий отмену моратория на продажу земли (документ принят в первом чтении). Также по поручению президента кабмин Гончарука одобрил проект закона о легализации игорного бизнеса (принят в первом чтении). Уровень жизни в стране продолжает оставаться низким. По данным Госстата, на 1 февраля 2020 г. задолженность населения по всем видам коммунальных платежей составила порядка 67,1 млрд гривен (около 2,7 млрд долларов США). Индексацию пенсий, которая ожидалась с 1 марта 2020 г., правительство перенесло на сентябрь, сумма индексации составит всего 216 гривен (около 9 долларов).