Родился 6 августа 1939 г. в Днепропетровске (Украинская ССР, ныне г. Днепр, Украина).
В 1956-1959 гг. учился на радиотехническом факультете Львовского политехнического института (ныне Национальный университет "Львовская политехника", Украина). В студенческие годы выступал в музыкальной самодеятельности.
В 1960 г. Юрий Григорьев поступил в Львовскую государственную консерваторию им. Н. В. Лысенко (ныне Львовская национальная музыкальная академия им. Н. В. Лысенко), где учился по вокальному классу педагога Остапа Дарчука. В 1964 г. перешел в Ленинградскую государственную консерваторию им. Н. А. Римского-Корсакова (ныне Санкт-Петербургская государственная консерватория им. Н. А. Римского-Корсакова). Окончил ее в 1966 г. по классу профессоров Василия Луканина и Нины Серваль. В 1966-1968 гг. проходил стажировку в Ленинградском академическом театре оперы и балета им. С. М. Кирова (ныне Государственный академический Мариинский театр). Певческий голос - баритон.
В 1968-1990 гг. Юрий Григорьев являлся ведущим солистом оперной труппы Государственного академического Большого театра. Среди исполненных им партий: князь Игорь в одноименной опере Александра Бородина, Томский в "Пиковой даме" Петра Чайковского, граф Альмавива в "Свадьбе Фигаро" Вольфганга Амадея Моцарта, Кузька и Шакловитый в "Хованщине" Модеста Мусоргского, Денисов в "Войне и мире" Сергея Прокофьева, Вяземский и Юшко в "Псковитянке" Николая Римского-Корсакова, Риголетто в одноименной опере Джузеппе Верди, Альберих в "Золоте Рейна" Рихарда Вагнера.
С 1990 г. Юрий Григорьев выступал в отдельных постановках российских и зарубежных оперных театров.
В разные годы сотрудничал с оперными певцами Владимиром Атлантовым, Еленой Образцовой и Ириной Архиповой, дирижерами Геннадием Рождественским и Юрием Симоновым.
В 1999-2000 гг. был художественным руководителем оперной труппы Большого театра.
С 1979 по 2022 г. преподавал на кафедре сольного пения Московской государственной консерватории им. П. И. Чайковского. Профессор (1996).
В разные годы Юрий Григорьев входил в состав жюри Международного конкурса им. П. И. Чайковского (Москва), Международного конкурса камерного пения "Янтарный соловей" (Калининград), Международного музыкального конкурса им. Виотти (Верчелли, Италия) и др.
Народный артист РСФСР (1983).
3 июля 2022 г. стало известно, что Юрий Григорьев скончался на 83-м году жизни.