Родился 3 июля 1951 г. в г. Акмолинске Казахской ССР (ныне Астана, Республика Казахстан).
В 1975 г. окончил факультет психологии Ленинградского государственного университета (ныне Санкт-Петербургский государственный университет), в 1988 г. - Академию народного хозяйства при Совете министров СССР по специальности "экономика", в 1997 г. - Дипломатическую академию МИД России.
Кандидат психологических наук. В 1979 г. защитил диссертацию на тему "Анализ пластичности как черты темперамента".
Доктор экономических наук. В 2003 г. МГУ защитил диссертацию на тему "Социальная политика социального государства: эволюция теории и практики".
Профессор Российского государственного социального университета (РГСУ).
С 1975 по 1976 г. преподавал в Новосибирском электротехническом институте. Затем, до 1979 г., учился в аспирантуре Института психологии Академии педагогических наук СССР.
В 1979-1985 гг. - начальник бюро новых методов кадровой работы, руководитель социально-психологической службы производственного объединения "Красногорский завод им. С. А. Зверева" (Московская обл.).
Одновременно с 1980 по 1988 г. - доцент, заведующий кафедрой управления Московского высшего технического училища им. Н. Э. Баумана (ныне - Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана).
Член КПСС с 1982 по 1991 г. Являлся членом бюро Ленинградского РК КПСС (г. Москва).
В 1985-1988 г. возглавлял отдел Министерства оборонной промышленности СССР, руководил первой в России отраслевой социально-психологической службой.
В 1988-1992 гг. заведовал кафедрой научных основ управления, был проректором по науке Института повышения квалификации руководящих работников Министерства химической и нефтеперерабатывающей промышленности СССР.
С 1990 по 1993 г. возглавлял ряд производственных и коммерческих структур, в том числе АО "Торговый дом "Нефтехим", АО "Русская топливная компания", совместное предприятие "Рашн Пасифик Институт". Был председателем правления Евроазиатского инвестиционного банка, генеральным директором Международной ассоциации защиты от безработицы и бедности.
В 1993-1999 гг. - депутат Госдумы РФ I и II созывов. Был избран 12 декабря 1993 г. и 17 декабря 1995 г. по общефедеральному списку ЛДПР. В 1995 г. баллотировался также по Истринскому одномандатному округу №105 (Московская область), но проиграл выборы в округе заняв третье место (9,26%). Думе был членом партийной фракции, возглавлял комитет Госдумы по труду и социальной политике.
С 1994 по 1998 г. - председатель постоянной комиссии Межпарламентской ассамблеи СНГ по социальной политике и правам человека.
30 сентября 1998 г. указом президента РФ Бориса Ельцина был назначен министром труда и социального развития в правительстве Евгения Примакова. В дальнейшем занимал этот пост в кабинете министров Сергея Степашина и Владимира Путина (назначался указами от 25 мая и 19 августа 1999 г.). Освобожден от должности 28 июня 2000 г. в связи с отставкой правительства.
В 2000-2003 гг. - заместитель государственного секретаря Союзного государства России и Белоруссии Павла Бородина, член постоянного комитета Союзного государства.
С 2003 г. занимал должность начальника департамента социального развития, с 2004 г. - директора департамента социального развития и охраны окружающей среды правительства РФ.
С 25 марта 2008 г. по 29 января 2010 г. - председатель Фонда социального страхования РФ.
В 2010-2011 гг. – директор Института социального страхования, экономики и права РГСУ. Входит в состав президиума ученого совета РГСУ.
В 2011-2015 гг. - депутат Государственной думы РФ VI созыва. Был избран 4 декабря 2011 г. по списку ЛДПР. В Думе входил в состав партийной фракции. С 21 декабря 2011 г. занимал должность председателя комитета Госдумы по охране здоровья. Депутатские полномочия прекращены досрочно 13 октября 2015 г. в связи с переходом в Совет Федерации.
В 2015-2020 гг. - член Совета Федерации РФ. 29 сентября 2015 г. указом губернатора Брянской области Александра Богомаза был наделен полномочиями сенатора - представителя от исполнительного органа государственной власти Брянской области. Занимал должность первого заместителя председателя комитета Совета Федерации по экономической политике. 22 сентября 2020 г. сенатором от правительства Брянской области был назначен депутат Госдумы от ЛДПР Вадим Деньгин. 23 сентября 2020 г. полномочия Сергея Калашникова в Совфеде были прекращены.
В 2020-2021 гг. - депутат Государственной думы РФ VII созыва от ЛДПР. 14 октября 2020 г. Сергей Калашников получил депутатский мандат, освободившийся после перехода члена фракции ЛДПР Вадима Деньгина в Совет Федерации РФ. В Думе был первым заместителем председателя комитета по экономической политике, промышленности, инновационному развитию и предпринимательству.
Входит в совет попечителей Московского английского клуба. Член совета попечителей фонда "Общественное признание", президиума ассоциации "Гражданское общество".
Председатель президиума Российской ассоциации международного сотрудничества.
Награжден орденом Дружбы (2001), Почета (2020).
Заслуженный экономист Российской Федерации (2008).
Действительный государственный советник Российской Федерации I класса (2007).
Автор ряда книг и научных работ, в том числе монографий, учебников для вузов ("Функциональная теория социального государства", 2002; "Становление социального государства в России", 2003; и др.).