Родился 15 ноября 1973 г. в Москве.
В 1995 г. с отличием окончил Российский государственный гуманитарный университет по специальности "музейное дело, охрана памятников истории и культуры", в 2009 г. - Московский государственный университет приборостроения и информатики по специальности "юриспруденция".
Кандидат исторических наук. В 2000 г. защитил диссертацию на тему "Историко-предметный метод атрибуции произведений портретной живописи России XVIII - 1-й половины XIX вв.".
В 1993 г. одновременно с учебой в вузе работал редактором в военно-историческом журнале "Цейхгауз", с 1998 г. был заместителем главного редактора журнала.
В 1996-1997 гг. - младший научный сотрудник музея-панорамы "Бородинская битва".
С 1997 г. работал в Министерстве культуры РФ. В 1997-1998 гг. был главным специалистом, в 1998-2000 гг. - заместителем начальника отдела лицензирования департамента по сохранению культурных ценностей. Принимал участие в мероприятиях по возвращению в Россию украденных и пропавших произведений искусства.
В 2000-2001 гг. проходил срочную военную службу в Военно-морском флоте России, уволился в запас в звании сержанта морской пехоты.
После службы в армии работал в Комитете по культуре г. Москвы. Затем вернулся в Министерство культуры РФ, где в 2001-2004 гг. занимал должность заместителя руководителя департамента по сохранению культурных ценностей - начальника отдела министерства. Курировал подготовку и издание "Сводного каталога культурных ценностей, похищенных и утраченных в период Второй мировой войны", принимал участие в мероприятиях по розыску и возвращению в Россию ценностей, похищенных в годы Великой Отечественной войны.
С 2004 г. преподавал историю военного костюма в школе-студии при Московском художественном театре им. А. П. Чехова. Был консультантом по военному и гражданскому форменному костюму на съемках фильмов "Русская игра" Павла Чухрая, "Гибель империи" Владимира Хотиненко и др.
С 2004 г. работал советником в Аппарате правительства РФ. В 2006-2008 гг. был заместителем директора департамента массовых коммуникаций, культуры и образования правительства РФ.
В июне 2008 г. возглавил Федеральную службу по надзору за соблюдением законодательства в области охраны культурного наследия (Росохранкультура). Указом президента от 12 мая 2008 г. Росохранкультура была выделена в самостоятельное ведомство из Федеральной службы по надзору в сфере массовых коммуникаций, связи и охраны культурного наследия. Александр Кибовский был инициатором регистрации памятников в Едином государственном реестре объектов культурного наследия (памятников истории и культуры) народов РФ.
1 ноября 2010 г. мэр Москвы Сергей Собянин назначил Александра Кибовского министром правительства Москвы, руководителем городского департамента культурного наследия (Москомнаследие). Под его руководством в столице была принята первая пятилетняя программа по сохранению культурного наследия в рамках городской программы "Культура Москвы 2012—2016 гг.", проведена реставрация культурных объектов и памятников, таких как Триумфальная арка, храм Николая Чудотворца в Хамовниках, историко-архитектурный ансамбль "Рогожская слобода", церковь Всех Скорбящих Радости на Ордынке и др. Начались работы по сносу незаконных строений на объектах культурного наследия (мансарды на исторических памятниках, пристройки к зданиям и др.). Александр Кибовский являлся одним из инициаторов столичной программы по восстановлению аварийных памятников за счет арендаторов, в ходе которой были отреставрированы "Дом с кариатидами" в Печатниковом переулке, здание Московской военно-фельдшерской школы в Лефортово и др.
В октябре 2011 г. занял должность заместителя председателя комиссии при правительстве Москвы по рассмотрению вопросов осуществления градостроительной деятельности в границах достопримечательных мест и зон охраны объектов культурного наследия.
12 июля 2013 г. был назначен руководителем рабочей группы по координации подготовки и проведения информационно-пропагандистских мероприятий в связи с памятными датами военной истории Отечества Российского организационного комитета "Победа".
С октября 2014 г. руководил московским отделением Российского военно-исторического общества.
С 11 марта 2015 г. по 27 сентября 2023 г. - министр правительства Москвы, руководитель городского департамента культуры.
В конце 2023 г. стал представителем Москвы по вопросам культурного сотрудничества с новыми субъектами РФ (Донецкой и Луганской народными республиками, Запорожской и Херсонской областями).
17 июля 2024 г. Александр Кибовский был задержан. Ему предъявлено обвинение в совершении 8 эпизодов получения взяток (ч. 6 ст. 290 УК РФ) и 1 эпизода покушения на мошенничество (ч. 3 ст. 30, ч. 4 ст. 159 УК РФ). По версии следствия, Кибовский, занимая высокопоставленную должность в правительстве Москвы, незаконно получал денежные средства за то, что создавал условия подконтрольным фирмам участия в тендерах по завышенной стоимости. Предварительно установлено, что общая сумма полученных им взяток составляет более 100 млн руб. По данным следствия, за взятки Кибовский способствовал коммерческим организациям в заключении государственных контрактов. При этом он действовал с соучастниками в составе организованный группы.
Действительный государственный советник Российской Федерации II класса (2010).
Заслуженный деятель искусств РФ (2021).
Академик, член президиума Российской академии художеств.
Награжден медалью ордена "За заслуги перед Отечеством" II степени (2015), Почетной грамотой президента РФ (2009).
Имеет ордена Преподобного Сергия Радонежского III степени (2014), Святого благоверного князя Даниила Московского III степени (2006).
Автор работ по истории российской императорской армии, а также по идентификации портретов русских офицеров XVIII-XIX веков на основе сведений о форменной одежде и наградах, автор книг "300 лет российской морской пехоте" (2008 г.; совместно с Олегом Леоновым) и "Униформа российского военного воздушного флота" (совместно с Алексеем Степановым и Кириллом Цыпленковым), "Российская морская пехота, 1855-1908". В 2019 году книга Александра Кибовского "500 неизвестных" стала победителем национального конкурса "Книга года - 2019". Ему также вручен диплом Книги рекордов России в категории "Самое большое число атрибуций портретов с установлением имен изображенных персонажей".
