Родился 13 июля 1944 г. в Москве.
В 1969 г. окончил Высшее театральное училище им. М. С. Щепкина (ныне Высшее театральное училище, институт, им. М. С. Щепкина при Государственном академическом Малом театре России). Учился в мастерской заслуженного деятеля искусств РСФСР Вениамина Цыганкова и народного артиста РСФСР Леонида Волкова.
Работа в театре
С 1969 по 2020 г. Борис Клюев был актером Государственного академического Малого театра. Исполнил на его сцене различные роли в более чем 60 спектаклях. Среди них: Кудряш в "Грозе" по пьесе Александра Островского, Молчалин в "Горе от ума" по комедии Александра Грибоедова, герцог Бургундский в "Короле Лире" по пьесе Уильяма Шекспира, Гуляр в "Дельце" по пьесе Оноре де Бальзака, маршал Бертран в "Корсиканке" по комедии Иржи Губача, Людовик Великий в "Мольере" по произведению Михаила Булгакова, Чекалинский в "Пиковой даме" по повести Александра Пушкина, Арбенин в "Маскараде" по драме Михаила Лермонтова.
Работа в кино
В студенческие годы Борис Клюев снялся в эпизодических ролях в фильмах "Конец "Сатурна" (1967, режиссер Виллен Азаров) и "Каратель" (1968, Манос Захариас). К числу его наиболее известных киноработ относятся: граф Рошфор в музыкальном фильме "Д'Артаньян и три мушкетера" (1979, Георгий Юнгвальд-Хилькевич), Майкрофт Холмс в серии телефильмов "Приключения Шерлока Холмса и доктора Ватсона" (1979-1986, Игорь Масленников), Григорий Орлов в многосерийном телефильме "Михайло Ломоносов" (1984-1986, Александр Прошкин), Сергей Дубов (агент иностранной разведки Трианон) в многосерийном политическом детективе "ТАСС уполномочен заявить…" (1984, Владимир Фокин), пенсионер Николай Петрович в комедийном телесериале "Воронины" (2009-2019, Александр Жигалкин и др.). В общей сложности Борис Клюев снялся в более чем 120 фильмах и сериалах.
Принимал участие в дублировании нескольких десятков иностранных фильмов. В их числе: "Сонная лощина" (1999, режиссер Тим Бертон, США), "Властелин колец. Братство кольца" (2001, Питер Джексон, США - Новая Зеландия), "Властелин колец. Две крепости" (2002, Питер Джексон, США - Новая Зеландия), "Терминал" (2004, Стивен Спилберг, США).
Был членом Союза кинематографистов РФ.
Преподавательская деятельность
С 1969 г. (с перерывами) Борис Клюев преподавал в Высшем театральном училище им. М. С. Щепкина. Был заведующим кафедрой мастерства актера, профессором, руководителем актерской мастерской. Среди его учеников - актеры Егор Бероев, Елена Лядова, Тимофей Трибунцев, Кристина Асмус и др. В 2009 г. в качестве режиссера-педагога поставил спектакль "Волки и овцы" по комедии Александра Островского, в 2012 г. - "Дачники" по пьесе Максима Горького.
Последние годы жизни, кончина
В 2018 г. стало известно, что актер борется с онкологическим заболеванием.
Борис Клюев скончался 1 сентября 2020 г. в Москве на 77-м году жизни. Похоронен на Троекуровском кладбище.
Звания, награды
Народный артист РФ (2002).
Борис Клюев был награжден орденами Дружбы (1999), Почета (2008), "За заслуги перед Отечеством" IV степени (2019). Отмечен Почетной грамотой президента РФ (2015).
Являлся лауреатом премии ТЭФИ в номинации "Исполнитель мужской роли в телевизионном фильме/сериале" (2012, за роль в телесериале "Воронины").
Фильмы о Борисе Клюеве
Жизни и творчеству актера посвящены документальные фильмы "Египетская сила Бориса Клюева" (2019, режиссер Ольга Иванова) и "Борис Клюев. Заложник образа" (2021, Елена Лапенкова).