Родился 20 декабря 1972 г. в г. Таганроге Ростовской области. Отец - Виктор Анатольевич Кобзев, авиаконструктор, один из создателей авиационных комплексов Ту-142МР и А-50, самолетов-амфибий А-40, Бе-200.
В 1997 г. окончил лечебный факультет Ростовского государственного медицинского университета.
Занимался гостиничным и ресторанным бизнесом: был директором компаний ООО "Орион" и ООО "Рибэкс+" в г. Таганроге.
В 2010-2014 гг. работал главным врачом муниципального учреждения здравоохранения "Консультативно-диагностический центр".
С 2014 г. - исполняющий обязанности главного врача, а с 2015 г. - главный врач муниципального бюджетного учреждения здравоохранения "Городская больница скорой медицинской помощи" №5, г. Таганрог. Возглавлял лечебное учреждение до 2016 г.
В 2014-2016 гг. - депутат Таганрогской городской думы на непостоянной основе, избранный по одномандатному избирательному округу №2, член фракции "Единая Россия". Возглавлял постоянную комиссию гордумы по социальным вопросам, труду и защите прав граждан.
В мае 2016 г. участвовал в предварительном внутрипартийном голосовании (праймериз) "Единой России" по отбору кандидатов в депутаты Госдумы РФ в Ростовской области. Занял первое место по Таганрогскому одномандатному округу №151, набрав 72,72% голосов.
18 сентября 2016 г. избран депутатом Государственной думы РФ VII созыва от "Единой России" по Таганрогскому одномандатному округу №151 (Ростовская обл.). Получил 46,7% голосов, его ближайший соперник от КПРФ Николай Коломейцев - 20,97%. В нижней палате парламента вошел в состав партийной фракции.
С 22 декабря 2020 г. депутатские полномочия Юрия Кобзева были прекращены досрочно (соответствующее постановление Госдумы принято 24 декабря 2020 г.) в связи с назначением министром здравоохранения Ростовской области.
Общая сумма декларированного дохода за 2015 г. составила 1 млн 170 тыс. руб. Совладелец ООО "Рибэкс+" (28,57% акций).
Общая сумма декларированного дохода за 2016 г. составила 1 млн 999 тыс. руб., супруги - 156 тыс. руб.
Общая сумма декларированного дохода за 2017 г. составила 4 млн 568 тыс. руб., супруги - 340 тыс. руб.
Общая сумма декларированного дохода за 2018 г. составила 4 млн 797 тыс. руб., супруги - 363 тыс. руб.
Общая сумма декларированного дохода за 2019 г. составила 5 млн 433 тыс. руб., супруги - 402 тыс. руб.