Родился 29 июля 1960 г. в Туле в семье Владимира Константиновича и Александры Николаевны Копыловых. Его отец был водителем, мать работала на заводе.
В 1970-х гг. Сергей Копылов начал заниматься трековыми велогонками под руководством тренера Сергея Максимова. Специализировался в спринте и гите (соревнованиях на время).
В июле 1978 г. в Тбилиси (Грузинская ССР, ныне Грузия) Сергей Копылов в 17-летнем возрасте выиграл взрослый чемпионат СССР в спринте. Тогда же вместе с братом Виктором стал победителем гонки на тандемах (в дальнейшем этот вид был исключен из программы национальных чемпионатов). Впоследствии на первенствах СССР по велотрековым гонкам многократно становился чемпионом в спринте и гите.
В августе 1978 г. в Вашингтоне (США) выиграл юниорский чемпионат мира в спринте, а также стал серебряным медалистом в гите.
В 1980 г. Сергей Копылов завоевал бронзовую медаль в спринте на XXII летней Олимпиаде в Москве.
В 1981 г. в Брно (Чехословакия, ныне Чехия) выиграл золото мирового первенства в спринте и бронзу - в гите. В дальнейшем дважды становился победителем чемпионата мира (1982, Лестер, Великобритания - спринт; 1983, Цюрих, Швейцария - гит), один раз - его серебряным медалистом (1983 - спринт).
В 1984 г. в Москве на спортивных соревнованиях стран соцлагеря "Дружба-84", проведенных как альтернатива бойкотированной СССР XXIII летней Олимпиаде в Лос-Анджелесе (шт. Калифорния, США), одержал победу в гите на 1 км, а также стал серебряным призером в спринте.
В 1987 г. Сергей Копылов завершил спортивную карьеру. После ее окончания сменил ряд профессий: был сотрудником военкомата, детским тренером.
В 1990-х гг. работал охранником и водителем в одном из тульских автоцентров. В 2000-х гг. был инженером в автоколонне по благоустройству города.
В 2010-х гг. работал на Тульском велотреке.
В октябре 2013 г. принял участие в проходившем в Туле этапе эстафеты олимпийского огня XXII зимних Олимпийских игр 2014 г. (Сочи, Краснодарский край).
В феврале 2017 г. приказом министра спорта РФ Павла Колобкова Сергею Копылову была присвоена квалификация "Спортивный судья всероссийской категории" (велоспорт-трек).
Заслуженный мастер спорта СССР (1981).
Награжден орденом "Знак Почета" и медалью "За трудовое отличие".
Почетный гражданин Тулы (2006).
Лучший велосипедист мира 1982 г. по версии Международного союза велосипедистов.
Сын - Виктор, дочери - Кристина и Софья. Старший брат - велогонщик, заслуженный тренер РСФСР Виктор Копылов - скончался в 2010 г. на 59-м году жизни.