Родился 11 февраля 1954 г. в Москве в семье Виктора Ивановича Коршунова (1929-2015) и Екатерины Ильиничны Еланской (1929-2013). Отец - актер и режиссер, народный артист СССР. Мать - народная артистка РФ, в 1981-2013 гг. была художественным руководителем Московского драматического театра "Сфера".
В 1975 г. Александр Коршунов окончил Школу-студию им. Вл. И. Немировича-Данченко при МХАТ СССР им. М. Горького (ныне - Школа-студия, институт, им. Вл. И. Немировича-Данченко при Московском художественном театре им. А. П. Чехова). Учился на курсе заслуженного деятеля искусств РСФСР Виктора Монюкова.
В 1975-1983 гг. - актер Московского нового драматического театра (труппа была создана на основе выпускного курса Виктора Монюкова). Исполнял роли в постановках: "Путь вашей жизни" по произведению Уильяма Сарояна, "В гостях и дома" по пьесе Александра Володина, "Осень следователя" по драме Георгия Данаилова и др.
В 1981 г. Александр Коршунов начал сотрудничество с Московским драматическим театром "Сфера". До 2014 г. был актером и режиссером-постановщиком. С апреля 2014 г. по н. в. является главным режиссером театра. Исполнял роли в спектаклях: "Кабала святош" и "Театральный роман" по произведениям Михаила Булгакова, "Маленький принц" по философской повести Антуана де Сент-Экзюпери, "Доктор Живаго" по роману Бориса Пастернака. Осуществил постановки: "Приглашение в замок" по комедии Жана Ануя, "Доходное место" и "В чужом пиру похмелье" по пьесам Александра Островского, "Кандида" по произведению Бернарда Шоу, "Вишневый сад" по пьесе Антона Чехова, "Старший сын" по произведению Александра Вампилова, "Дачники" по пьесе Максима Горького и др.
С 1984 г. по н. в. Александр Коршунов является актером и режиссером Государственного академического Малого театра. Исполнял роли в постановках: "Живой труп" по пьесе Льва Толстого, "Царь Федор Иоаннович" и "Князь Серебряный" по произведениям Алексея Толстого, "Недоросль" по пьесе Дениса Фонвизина, "Дядюшкин сон" по повести Федора Достоевского, "Чайка" и "Вишневый сад" по пьесам Антона Чехова и др. Задействован в спектаклях текущего репертуара "День на день не приходится" и "Бедность не порок" по пьесам Александра Островского. Поставил спектакли: "Трудовой хлеб", "Пучина", "Бедность не порок" и "День на день не приходится" по произведениям Александра Островского, "Чудаки" по пьесе Максима Горького.
Александр Коршунов известен в качестве киноактера. Дебютной для него стала роль Гоги Галиева в фильме Алексея Коренева "Ключ" (1980). Среди других киноработ: Василий в мелодраме "Не могу сказать "Прощай" (1982, режиссер Борис Дуров), Коновалов в драме "Петя по дороге в Царствие Небесное" (2008, Николай Досталь), Петр Гаврилов в военном фильме "Брестская крепость" (2010, Александр Котт), Юрий Гарозий в сериале "Черные волки" (2011, Дмитрий Константинов). Последнюю роль к настоящему времени исполнил в фильме Дмитрия Тюрина "Рубеж" (2017). В общей сложности Александр Коршунов снялся в более чем 30 фильмах и сериалах.
С 1996 г. преподает актерское мастерство в Высшем театральном училище (институте) им. М. С. Щепкина при Государственном академическом Малом театре. Профессор (2002). Среди его учеников - актеры Игорь Петренко, Георгий Дронов, Екатерина Порубель и др.
Народный артист РФ (1999).
Награжден орденом Дружбы (2004).
Женат. Супруга - художник-постановщик Ольга Семеновна Коршунова. Имеет сына Степана (род. 1978, актер Малого театра) и дочь Клавдию (род. 1984, актриса Московского театра "Современник").