Родился 21 декабря 1976 г. в г. Красноярске.
В 1999 г. окончил экономический факультет Красноярского государственного университета (КГУ, ныне в составе Сибирского федерального университета) по специальности "финансы и кредит". Прошел обучение по программе подготовки кадрового резерва Высшей школы государственного управления Российской академии народного хозяйства и государственной службы (т. н. школы губернаторов).
С ноября 1997 г. по декабрь 2000 г. работал главным экономистом кредитного отдела, начальником контрольно-ревизионного отдела главного финансового управления администрации Красноярского края. На работу в красноярскую краевую администрацию Котюков перешел по приглашению Валерия Зубова, губернатора края и преподавателя экономического факультета КГУ.
С июля 2001 г. по май 2002 г. был начальником финансового отдела ОАО "Красноярскагропромдорстрой". Фирма занималась строительством одного из участков федеральной трассы М-53 "Байкал".
С мая 2002 г. по март 2003 г. - главный специалист отдела финансово-кредитных ресурсов и бюджетной политики, начальник отдела инвестиционных ресурсов и экологии администрации Красноярска.
С марта 2003 г. по март 2007 г. работал в администрации Красноярского края заместителем начальника главного финансового управления (его возглавлял Александр Новак, впоследствии министр энергетики и вице-премьер РФ), с октября 2005 г. Котюков был первым заместителем руководителя департамента финансов.
В марте - июле 2007 г. - проректор по экономике и финансам Сибирского федерального университета (Красноярск).
С июля 2007 г. по июль 2008 г. занимал должность заместителя губернатора Красноярского края - руководителя департамента финансов администрации края (главой региона в этот период был Александр Хлопонин).
В июле 2008 г. Михаил Котюков был назначен министром финансов Красноярского края, сменив на посту Александра Новака.
С декабря 2008 г. по апрель 2010 г. являлся заместителем председателя правительства Красноярского края - министром финансов.
С апреля 2010 г. по июнь 2012 г. возглавлял департамент бюджетной политики в отраслях социальной сферы и науки Министерства финансов РФ.
С 13 июня 2012 г. по 24 октября 2013 г. - заместитель министра финансов РФ Антона Силуанова, курировал финансирование социального сектора, в том числе науки.
С 24 октября 2013 г. по 21 мая 2018 г. - руководитель Федерального агентства научных организаций (ФАНО). Ведомство было создано в сентябре 2013 г. в ходе реформы Российской академии наук (РАН) для управления имуществом научных учреждений академии, а также контроля и оценки их работы.
Под руководством Котюкова ФАНО в 2016 г. завершило процесс инвентаризации имущества институтов Академии наук, перешедших в ведение агентства (в 2013 г. была зарегистрирована только треть объектов). По ее результатам были выявлены около 600 непрофильных для научной деятельности объектов, подлежащих передаче в федеральную или региональную собственность. ФАНО также организовало перевыборы директоров более 200 академических институтов. В 2016 г. средний возраст руководителей научных учреждений снизился с 63,5 до 58 лет. При ведомстве была создана Комиссия по развитию научной инфраструктуры, призванная координировать реализацию проекта по поддержке и развитию приборной базы академических организаций.
Деятельность Михаила Котюкова на посту руководителя ФАНО подвергалась критике со стороны научного сообщества. В частности, Александр Сергеев, избранный в сентябре 2017 г. президентом РАН, в своей программе писал, что создание ФАНО привело "к резкому обюрокрачиванию научной деятельности, росту административно-управленческого аппарата при одновременном ухудшении качества административно-хозяйственной деятельности". Он также критиковал руководство ФАНО за вмешательство в управление научными исследованиями.
15 мая 2018 г. указом главы государства ФАНО было ликвидировано. Тем же документом на базе Министерства образования и науки РФ были образованы два ведомства: министерство науки и высшего образования (ему переданы полномочия ФАНО) и министерство просвещения.
С 18 мая 2018 г. по 21 января 2020 г. Михаил Котюков был министром науки и высшего образования РФ в правительстве Дмитрия Медведева. После его отставки в состав нового кабинета Михаила Мишустина не вошел.
С декабря 2018 г. - член высшего совета партии "Единая Россия".
Со 2 марта 2020 г. по 21 апреля 2023 г. занимал должность заместителя министра финансов РФ Антона Силуанова, курировал департамент проектного управления и развития персонала Минфина.
20 апреля 2023 г. указом президента РФ Владимира Путина был назначен врио губернатора Красноярского края. Сменил на это посту Александра Усса, досрочно ушедшего в отставку.
Входил в состав Совета при президенте РФ по делам казачества (с ноября 2019 г. по май 2020 г.).
Действительный государственный советник РФ III класса (2022).
Награжден орденом Дружбы (2014), медалью ордена "За заслуги перед Отечеством" I и II степеней (2022, 2012). Отмечен благодарностью президента РФ (2011).