Родился 21 декабря 1976 г. в г. Красноярске.
В 1999 г. окончил экономический факультет Красноярского государственного университета (КГУ, ныне в составе Сибирского федерального университета) по специальности "финансы и кредит". Выпускник первого потока "школы губернаторов". Программа подготовки кадрового управленческого резерва государственной службы была запущена в июне 2017 г. на базе Высшей школы государственного управления и подготовлена на основе программ Корпоративного университета Сбербанка, Московской школы управления "Сколково", РАНХиГС и Высшей школы экономики.
С ноября 1997 г. по декабрь 2000 г. работал главным экономистом кредитного отдела, начальником контрольно-ревизионного отдела главного финансового управления администрации Красноярского края.
С июля 2001 г. по май 2002 г. был начальником финансового отдела ОАО "Красноярскагропромдорстрой".
С мая 2002 г. по март 2003 г. - главный специалист отдела финансово-кредитных ресурсов и бюджетной политики, начальник отдела инвестиционных ресурсов и экологии главуправления экономики и планирования администрации Красноярска.
С марта 2003 г. по март 2007 г. работал в администрации Красноярского края. С 2003 г. - заместитель начальника главного финансового управления, с 2005 г. - первый заместитель руководителя департамента финансов краевой администрации.
В марте - июле 2007 г. - проректор по экономике и финансам Сибирского федерального университета (Красноярск).
С июля 2007 г. по июль 2008 г. занимал должность заместителя губернатора Красноярского края - руководителя департамента финансов администрации края (главой региона в этот период был Александр Хлопонин).
В июле 2008 г. Михаил Котюков был назначен министром финансов Красноярского края. С декабря 2008 г. по апрель 2010 г. являлся заместителем председателя правительства Красноярского края - министром финансов.
С апреля 2010 г. по июнь 2012 г. возглавлял департамент бюджетной политики в отраслях социальной сферы и науки Министерства финансов РФ.
С 13 июня 2012 г. по 24 октября 2013 г. - заместитель министра финансов РФ Антона Силуанова. Курировал финансирование социального сектора, в том числе науки.
С 24 октября 2013 г. по 21 мая 2018 г. - руководитель Федерального агентства научных организаций (ФАНО). Ведомство было создано в сентябре 2013 г. в ходе реформы Российской академии наук для управления имуществом научных учреждений академии, а также контроля и оценки их работы.
15 мая 2018 г. указом главы государства ФАНО было ликвидировано. Тем же документом на базе Министерства образования и науки РФ были образованы два ведомства: министерство науки и высшего образования (ему переданы полномочия ФАНО) и министерство просвещения.
С 18 мая 2018 г. по 21 января 2020 г. Михаил Котюков был министром науки и высшего образования РФ в правительстве Дмитрия Медведева.
С 2 марта 2020 г. по 21 апреля 2023 г. занимал должность заместителя министра финансов РФ Антона Силуанова. Курировал департамент проектного управления и развития персонала Минфина.
20 апреля 2023 г. указом президента РФ Владимира Путина Михаил Котюков был назначен врио губернатора Красноярского края. Сменил во главе региона Александра Усса, который досрочно сложил полномочия.
10 сентября 2023 г. избран губернатором Красноярского края, получив 70,21% голосов избирателей (баллотировался от партии "Единая Россия"). Второе место занял руководитель фракции ЛДПР в региональном заксобрании Александр Глисков от ЛДПР (11,32%). 19 сентября того же года Михаил Котюков вступил в должность.
Член высшего совета партии "Единая Россия" (с декабря 2018 г.).
Входил в состав Совета при президенте РФ по делам казачества (с ноября 2019 г. по май 2020 г.).
Действительный государственный советник РФ III класса (2022).
Награжден орденом Дружбы (2014), медалью ордена "За заслуги перед Отечеством" I и II степеней (2022, 2012). Отмечен благодарностью президента РФ (2011).