Родился 10 августа 1960 г. в гор. Братске (Иркутская обл.).
С 1977 г. работал слесарем по ремонту топливной аппаратуры специализированного управления "Братскгэсстрой".
В 1987 г. окончил Московский институт железнодорожного транспорта (ныне Российский университет транспорта - МИИТ), специальность - "управление процессами перевозок". Получил квалификацию инженера путей сообщения.
После окончания вуза был принят на работу дежурным по железнодорожной станции, затем последовательно занимал должности начальника станции, начальника отдела грузовой и коммерческой работы, заместителя начальника Мурманского отделения Октябрьской железной дороги (ОЖД) - начальника отдела перевозок.
В начале 2000-х гг. Виктор Козловский был первым заместителем начальника Санкт-Петербургского отделения ОЖД. В июне 2003 г. приказом по Министерству путей сообщения был назначен начальником Санкт-Петербургского отделения ОЖД (в сентябре того же года в рамках реформы отрасли ОЖД стала филиалом ОАО "Российские железные дороги", РЖД).
В марте 2010 г. Виктор Козловский был переведен на должность первого заместителя Северо-Западного филиала ОАО "Федеральная пассажирская компания" (ФПК), дочерней компании РЖД.
С сентября 2010 г. по февраль 2011 г. возглавлял дирекцию управления движением Калининградской железной дороги - филиала РЖД. В это время филиал возглавлял Иван Беседин (в 2011-2014 гг. - начальник ГУП "Московский метрополитен").
В феврале 2011 г., после перевода Беседина в Москву, Виктор Козловский был назначен первым заместителем начальника Калининградской железной дороги. В августе того же года был переведен на пост начальника Октябрьской дирекции управлении движения Центральной дирекции управления движением ОАО "РЖД".
Параллельно, в 2010-2011 гг. был совладельцем (25% акций) ООО "Невская транспортная компания". В марте 2013 г. Виктор Козловский был назначен первым заместителем начальника Куйбышевской железной дороги (в составе РЖД).
С сентября 2014 г. занимал пост первого заместителя начальника Московского метрополитена Дмитрия Пегова. Курировал работу служб движения и инфраструктуры.
15 мая 2017 г. департамент транспорта Москвы сообщил ТАСС, что Козловский сменит Пегова на посту руководителя предприятия. 23 мая 2017 г. мэр Москвы Сергей Собянин своим распоряжением назначил Виктора Козловского начальником ГУП "Московский метрополитен" с заключением трудового договора сроком на пять лет.
Обладатель ведомственных наград РЖД. Отмечен благодарностью мэра Москвы (2016, "За большой вклад в реализацию проекта реконструкции и развития Московского центрального кольца").