Родился 9 февраля 1872 г. (по старому стилю 28 января 1872 г.) в Санкт-Петербурге в семье статского советника Сергея Сергеевича Кудашева. Имел княжеский титул. Двоюродным братом Александра Кудашева был философ Николай Бердяев (1874-1948).
В 1895 г. Кудашев окончил Институт инженеров путей сообщения императора Александра I (Санкт-Петербург).
Работал инженером на строительстве железной дороги Тифлис (ныне Тбилиси, Грузия) - Карс (Турция), участвовал в сооружении моста через р. Куру.
В 1897 г. переехал в Киев (ныне столица Украины). Получил должность инженера новых работ Юго-Западной железной дороги, с 1898 г. заведовал землечерпательным караваном "Днепровский 4-й" в Киевском округе путей сообщения. Параллельно вел научные исследования в лабораториях Киевского университета Святого Владимира.
В 1900 г. Александр Кудашев был принят в Киевский политехнический институт императора Александра II (КПИ) на должности преподавателя и и. о. экстраординарного профессора по кафедре строительного искусства.
В 1909 г. был избран действительным членом Киевского общества воздухоплавания. В феврале следующего года Кудашев на авиационной неделе в Реймсе (Франция) поднялся в воздух на самолете (конструкции француза Анри Фармана) вместе с русским авиатором Михаилом Ефимовым (1881-1919). По возвращении в Киев он получил разрешение соорудить на территории КПИ сарай для постройки аэроплана собственной конструкции.
5 июня (23 мая по старому стилю) 1910 г. построенный и пилотируемый Александром Кудашевым ферменный биплан совершил первый полет на киевском Сырецком ипподроме (ныне на этом месте располагается киностудия им. А. Довженко). Самолет, получивший впоследствии название "Кудашев-1", стал первым русским аэропланом, поднявшимся в воздух и преодолевшим несколько десятков метров. Профессор КПИ Н. А. Артемьев описал полет в письме в редакцию журнала "Аэро- и автомобильная жизнь", уточнив, что машина пролетела по прямой 70 м. Свидетелями полета также были математик, популяризатор планеризма Николай Делоне (1856-1931) и его сын, будущий член-корреспондент АН СССР Борис Делоне (1890-1980), впоследствии вспоминавший, что "это было потрясающее зрелище". Официально полет Кудашева зарегистрирован не был, т. к. о нем не было объявлено заранее.
"Кудашев-1" представлял собой биплан. Руль высоты у него располагался спереди, стабилизатор и руль направления - в хвостовом оперении. Двигатель итальянского производства Anzani ("Анзани") мощностью 35 лошадиных сил с тянущим винтом размещался над передней кромкой нижнего крыла. Крылья были двухлонжеронными, одинакового размера. Каркас самолета был выполнен из сосновых брусков и реек, обтяжка - из прорезиненного полотна. Длина аэроплана составляла 10 м, размах крыла - 9 м, площадь крыла - 34 кв. м. Масса пустой машины - 330 кг, нормальная взлетная - 420 кг. Экипаж - один человек.
По данным исследователей, первый самолет Кудашева совершил всего четыре полета, в последнем он столкнулся с забором. Осенью 1910 г. была построена вторая машина (биплан), вскоре также потерянная в результате аварии. К зиме 1910-1911 гг. был сконструирован моноплан "Кудашев-3", информация о полетах которого отсутствует. Все машины создавались на собственные средства инженера.
Александр Кудашев был приглашен в авиационную мастерскую Русско-Балтийского вагонного завода (РБВЗ, Рига, ныне столица Латвии), где построил четвертый самолет - также моноплан , взлетевший в апреле 1911 г. В том же месяце машина получила серебряную медаль Императорского русского технического общества на первой Международной воздухоплавательной выставке, проходившей в Михайловском манеже Санкт-Петербурга. На РБВЗ Кудашев организовал выпуск бипланов типа "Соммер" по заказу военного ведомства, однако их производство было свернуто в 1912 г. после катастрофы такой машины в ходе демонстрационного полета.
В 1912 г. авиационное отделение РБВЗ было переведено в Санкт-Петербург, главным конструктором стал Игорь Сикорский. Историки отечественной авиации Вячеслав Савин и Вячеслав Моисеев полагали, что Александр Кудашев в 1914 г. оставил конструкторскую деятельность, переехал во Францию и вернулся к преподавательской работе. Однако исследователь Вадим Михеев утверждал, что после ухода с РБВЗ Кудашев отправился добровольцем на фронт Первой мировой войны и погиб в 1917 г.
Александр Кудашев был женат на Екатерине Васильевне Кудашевой (урожденная Стенбок-Фермор). Сын Сергей (1896-1918). Внук Сергей Сергеевич Кудашев (1917-1941) воспитывался в семье французского писателя Ромена Роллана, вернулся в СССР и погиб при обороне Москвы в ходе Великой Отечественной войны.