Родился 16 апреля 1952 г. в с. Мазуровка Могилёв-Подольского района Винницкой обл. Украинской ССР (ныне Украина).
После окончания школы поступил в Ейское высшее военное авиационное училище летчиков им. В. М. Комарова, которое окончил в 1973 г. В 1978 г. стал выпускником Школы летчиков-испытателей при Летно-исследовательском институте Министерства авиационной промышленности СССР (ныне Летно-исследовательский институт им. М. М. Громова в г. Жуковский Московской обл.), в 1981 г. окончил Московский авиационный институт им. С. Орджоникидзе - ныне Московский авиационный институт (Национальный исследовательский университет), в 1999 г. - Академию государственной службы при президенте РФ (ныне в составе Российской академии народного хозяйства и государственной службы при президенте РФ).
В 1973-1977 гг. служил в составе Группы советских войск в Германии летчиком, был командиром звена в авиационном полку 125-й гвардейской авиационной дивизии истребителей-бомбардировщиков.
В июле 1977 г. уволился в запас в связи с поступлением в Школу летчиков-испытателей при ЛИИ Минавиапрома СССР.
С декабря 1978 г. по март 1981 г. являлся летчиком-испытателем Комсомольского-на-Амуре авиационного завода (ныне Комсомольский-на-Амуре авиационный завод им. Ю. А. Гагарина). Испытывал серийные истребители-бомбардировщики Су-17 и их модификации.
С апреля 1981 г. по март 1991 гг. - летчик-испытатель конструкторского бюро им. А. И. Микояна (ныне входит в состав АО "Российская самолетостроительная корпорация "МиГ"). За время работы в ОКБ провел испытания истребителей-перехватчиков МиГ-31, обычного и палубного вариантов истребителя МиГ-29, авиационных ракет разных классов и др. В частности, в 1988 г. впервые демонстрировал МиГ-29 на авиасалоне в британском Фарнборо, тогда же впервые публично выполнил фигуру высшего пилотажа "колокол" на турбореактивном самолете. В 1990 г. на МиГ-29К выполнил первую посадку и взлет на авианосец "Адмирал Кузнецов" в ночное время.
С марта 1991 г. по май 2003 г. работал летчиком-испытателем Летно-исследовательского института им. М. М. Громова и начальником лаборатории эргономики ЛИИ. В 1992 г. организовал и возглавил в ЛИИ государственное предприятие "Пилотажная группа "Летчики-испытатели", которое в 1996 г. было реорганизовано во ФГУП "Пилотажно-исследовательский центр". В период с 1995 г. по 2003 г. был заместителем начальника ЛИИ по оборонной тематике. В марте 1995 г. выполнил сверхдальний перелет на истребителе Су-27 в Австралию (около 15 тыс. км с дозаправками в воздухе и двумя промежуточными посадками), в июле и сентябре 1999 г. - перелеты через Северный полюс по замкнутому маршруту.
С мая 2003 г. по декабрь 2008 г. работал летчиком-испытателем ОКБ им. П. О. Сухого (ныне входит в состав Объединенной авиастроительной корпорации). С 2005 г. занимал должность главного конструктора ФГУП "Пилотажно-исследовательский центр".
В 2005 г. вновь вошел в число летчиков-испытателей ОКБ им. А. И. Микояна. Кроме того, с 2005 г. по 2007 г. работал начальником Летно-испытательного центра - первым заместителем начальника ЛИИ им. М. М. Громова.
Всего Анатолий Квочур освоил и испытал более 90 типов и модификаций летательных аппаратов (в т. ч. 9 летательных аппаратов стран НАТО). Его общий налет превышает 5 000 часов, в т. ч. испытательный налет - свыше 3 500 часов. Подготовил ряд высокопрофессиональных летчиков-испытателей, семеро из них были удостоены звания Героя РФ. В совершенстве владел многими фигурами воздушного пилотажа. Дважды катапультировался, получал травмы позвоночника (8 июня 1989 г, во время демонстрации МиГ-29 во французском Ле-Бурже, когда в двигатель его самолета попала птица; 1 августа 1990 г. на аэродроме Саки, Крым). За карьеру летчика-испытателя установил 11 мировых рекордов по стандартам Международной авиационной федерации, из которых 5 по состоянию на 15 апреля 2024 г. - действующие. Продолжал летать на сверхзвуковых самолетах до 65 лет.
Жил в г. Жуковский Московской области.
Анатолий Квочур скончался 15 апреля 2024 г. на 72-м году жизни.
Являлся членом общественной палаты Московской области (с 2015 г.).
Имел звание полковника запаса.
Герой Российской Федерации (17 ноября 1992 г., "за мужество и героизм, проявленные при испытаниях авиационной техники"). Награжден орденами Трудового Красного Знамени (1988), "За заслуги перед Отечеством" III степени (1998), медалями.
Заслуженный летчик-испытатель СССР (1990).
Был обладателем ряда патентов на изобретения (в т. ч. "Устройство визуального контроля пространственного положения и скорости заправляемого самолета при дозаправке топливом в полёте", 1996; "Система заправки самолета топливом в полете", 1998). Автор цикла статей "Испытание себя" (журнал "Авиапанорама", 2006-2010).