Родился 7 июля 1922 г. на хуторе Заячий близ села Горный Балыклей Саратовской губернии России (ныне на территории Дубовского района Волгоградской области) в крестьянской семье.
Школу окончил в Сталинграде (ныне Волгоград). Занимался в драматическом кружке, играл в самодеятельном струнном оркестре во дворце культуры при местном заводе.
В 1939 г. поступил в Харьковский театральный институт (ныне Харьковский национальный университет искусств имени И. П. Котляревского), но проучился всего два года. В 1941 г., незадолго до начала Великой Отечественной войны, был принят в Сталинградский драматический театр им. М. Горького (впоследствии Волгоградский драматический театр им. М. Горького, закрыт в 1988 г.).
В декабре 1941 г., после начала Великой Отечественной войны, был мобилизован. Служил в строительном батальоне, в частности, занимался возведением переправ и оборонительных сооружений под Сталинградом. Во время Сталинградской битвы помогал переправлять раненных через Волгу в тыл.
Уже в 1942 г. Иван Лапиков вернулся к работе в Сталинградском драмтеатре (до осени 1943 г. он находился в эвакуации в Сызрани). Сыграл на его сцене более 50 ролей, в т. ч. в спектаклях "Бешеные деньги" по произведению Александра Островского (Глумов), "Снежная королева" по пьесе-сказке Евгения Шварца (Сказочник),"На дне" по пьесе Максима Горького (Актер), "Ревизор" по комедии Николая Гоголя (Ляпкин-Тяпкин), "Бег" по пьесе Михаила Булгакова (Крапилин), "Двенадцатая ночь" по комедии Уильяма Шекспира (Шут Фесте) и др.
В кино Иван Лапиков дебютировал в 1954 г., сыграв эпизодическую роль в комедии "Запасной игрок" режиссера Семена Тимошенко.
В 1963 г. переехал в Москву. Работал на киностудии "Мосфильм". В 1965-1993 гг. служил в Театре-студии киноактера (впоследствии Государственный театр киноактера, ныне Центр театра и кино под руководством Никиты Михалкова).
Известность к Ивану Лапикову пришла после выхода на экраны в 1965 г. драмы "Председатель", снятой Алексеем Салтыковым по сценарию Юрия Нагибина. Актер сыграл в фильме Семена, брата главного героя - Егора Трубникова в исполнении Михаила Ульянова.
В числе других ролей Ивана Лапикова - Гаврила в фильме "Непрошеная любовь" (1964; реж. Владимир Монахов), дядя Коля в картине "Наш дом" (1965; реж. Василий Пронин), монах Кирилл в драме "Рублев" (1966-1969; реж. Андрей Тарковский), рядовой Борис Краюшкин в военной драме "Минута молчания" (1971; реж. Игорь Шатров), Слепцов в мелодраме "Нежданный гость" (1972; реж. Владимир Монахов), генерал Михаил Ермаков в телефильме "Моя судьба" (1973; реж. Леонид Пчелкин), Пантелей в кинофильме "Степь" (1977; реж. Сергей Бондарчук), кузнец Жёмов в дилогии о Петре I "Юность Петра" и "В начале славных дел" (1980; реж. Сергей Герасимов), архиепископ Афанасий в многосерийном телевизионном художественном фильме "Россия молодая" (1981-1982; реж. Илья Гурин), Ерофеич в двух частях трилогии "Фронт за линией фронта" и "Фронт в тылу врага" (1977, 1981; реж. Игорь Гостев) и др.
Одной из самых знаковых работ актера стала роль старшины Поприщенко в фильме Сергея Бондарчука "Они сражались за Родину" (1975) по одноименному роману Михаила Шолохова. Также известность получила роль Панкрата Назарова в многосерийном телефильме "Вечный зов" (1973-1983), снятом Владимиром Краснопольским и Валерием Усковым по роману Анатолия Иванова. Всего Иван Лапиков снялся почти в 80 картинах.
Скончался актер 2 мая 1993 г. во время публичного выступления перед солдатами воинской части пос. Калинец Наро-Фоминского района Московской области, куда Иван Лапиков приехал по просьбе Сергея Бондарчука. Похоронен на Ваганьковском кладбище Москвы.
Ивану Лапикову были присвоены звания "Заслуженный артист РСФСР" (1965), "Народный артист СССР" (1982).
Он был награжден медалями "За оборону Сталинграда" (1943), "За доблестный труд в Великой Отечественной войне 1941-1945 гг." (1945), "За боевые заслуги" (1981) и др.
Лауреат Государственной премии РСФСР им. братьев Васильевых (1973) за исполнение роли Бориса Краюшкина в фильме "Минута молчания" и Государственной премии СССР (1979) за роль Панкрата Назарова в телевизионном сериале "Вечный зов". За фильмы "Фронт в тылу врага" и "Фронт за линией фронта" был удостоен премии Ленинского комсомола (1979) и специального приза журнала "Советский экран" на Всесоюзном кинофестивале (1982).
Супругой Ивана Лапикова была Юлия Александровна Фридман (1922-2010), актриса, театральный педагог, с которой он познакомился в 1947 г. в Сталинградском драматическом театре. У супругов в 1950 г. родилась дочь Елена.
Мемориальный музей Ивана Лапикова открыт на родине актера в с. Горный Балыклей (2004), там же установлена мемориальная доска на доме, где он родился и жил (2012). Имя актера в 2004 г. было присвоено улице в пос. Горная Поляна Волгограда.