Родился 1 января 1964 г. в Казани.
В 1988 г. окончил Казанское высшее танковое командное училище (ныне - филиал Военного учебно-научного центра Сухопутных войск "Общевойсковая академия ВС РФ", ВУНЦ СВ "ОВА ВС РФ"), в 1997 г. - Военную академию бронетанковых войск им. маршала Советского Союза Р. Я. Малиновского в Москве (в 1998 г. влилась в состав ВУНЦ СВ "ОВА ВС РФ"), в 2009 г. - Военную академию Генерального штаба ВС РФ.
В 1982 г. был призван в ряды Советской армии, проходил срочную службу в войсках противовоздушной обороны (ПВО) Среднеазиатского военного округа. Затем после окончания танкового командного училища служил в частях 26-го армейского корпуса (штаб - Архангельск), был командиром танкового взвода, танковой роты, батальона. Позднее занимал различные должности в Ленинградском военном округе и на Северном флоте.
После окончания бронетанковой академии был направлен в 58-ю общевойсковую армию Северо-Кавказского военного округа (штаб - Владикавказ, Северная Осетия), где служил командиром отдельного танкового батальона. С 1999 г. - начальник штаба, затем командир отдельного 429-го мотострелкового полка 19-й мотострелковой дивизии (Моздок, Северная Осетия).
В начале 2000-х гг. служил начальником штаба 20-й гвардейской мотострелковой дивизии (Волгоград).
В 2003-2006 гг. командовал 205-й отдельной мотострелковой бригадой (Буденновск, Ставропольский край), в 2006-2007 гг. - 20-й гвардейской мотострелковой дивизией.
После окончания Военной академии Генштаба ВС РФ с 2009 г. занимал должность заместителя командующего 58-й армией.
2 апреля 2012 г. был назначен командующим 20-й гвардейской общевойсковой армией Западного военного округа (пос. Мулино, Нижегородская обл., в 2015 г. штаб армии передислоцирован в Воронеж).
В 2014 г. был назначен на должность начальника штаба - первого заместителя командующего войсками Восточного военного округа генерал-полковника Сергея Суровикина.
В 2017 г. занимал пост начальника штаба группировки войск ВС РФ в Сирийской Арабской Республике.
С сентября по ноябрь 2017 г. - начальник ВУНЦ СВ "ОВА ВС РФ".
С ноября 2017 по ноябрь 2022 г. являлся командующим войсками Центрального военного округа (ЦВО).
Одновременно с октября 2018 по январь 2019 г. являлся командующим группировкой войск РФ в Сирийской Арабской Республике.
В 2020 г. окончил факультет переподготовки и повышения квалификации высшего командного состава ВА ГШ ВС РФ.
В 2022 г. командовал группировкой войск "Центр" в ходе Специальной военной операции ВС РФ на Украине.
10 января 2023 г. источники, близкие к военному ведомству, сообщили, что Александр Лапин назначен начальником Главного штаба Сухопутных войск ВС РФ.
15 мая 2024 г. Александр Лапин был назначен командующим вновь созданным Ленинградским военным округом.
Генерал-полковник (2019).
Награжден орденом орденом Святого Георгия IV степени, "За заслуги перед Отечеством" IV степени с мечами, орденом Александра Невского, орденом "За военные заслуги", медалью ордена "За заслуги перед Отечеством" II степени и др. медалями.
Герой Российской Федерации (2022).