Родился 29 октября 1941 г. в Тбилиси (Грузинская ССР, ныне Грузия). Отец - народный артист СССР, балетмейстер и педагог Леонид Михайлович Лавровский (1905-1967). Мать - заслуженная артистка РСФСР балерина Елена Георгиевна Чикваидзе (1910-1996).
В 1961 г. Михаил Лавровский окончил Московское хореографическое училище (ныне Московская государственная академия хореографии) по классу педагога Глеба Евдокимова, в 1979 г. - балетмейстерский факультет Государственного института театрального искусства им. А. В. Луначарского (ныне Российский институт театрального искусства - ГИТИС).
С 1961 по 1988 г. Михаил Лавровский являлся солистом балетной труппы Государственного академического Большого театра. Среди исполненных им партий: Спартак в одноименном балете Арама Хачатуряна, Альберт в "Жизели" Адольфа Адана, Вацлав в "Бахчисарайском фонтане" Бориса Асафьева, Ферхад в "Легенде о любви" Арифа Меликова, Принц в "Щелкунчике" и Зигфрид в "Лебедином озере" Петра Чайковского, Базиль в "Дон Кихоте" Людвига Минкуса, Ромео в "Ромео и Джульетте" Сергея Прокофьева, Виктор в "Ангаре" Андрея Эшпая.
C 1983 по 1985 г. был художественным руководителем Грузинского театра оперы и балета им. З. Палиашвили (Тбилиси).
С 1987 г. по н. в. - балетмейстер-репетитор Большого театра. В 1993 г. поставил на его сцене балет "Фантазия на тему Казановы" на музыку Вольфганга Амадея Моцарта.
В 2005-2008 гг. возглавлял балетную труппу Московского музыкального театра им. К. С. Станиславского и В. И. Немировича-Данченко.
С 2010 г. Михаил Лавровский является художественным руководителем Московской государственной академии хореографии.
Профессор Российского института театрального искусства - ГИТИС. Руководитель мастерской.
Соучредитель автономной некоммерческой организации "Русская школа искусств Марии Володиной "Грандбалет".
Михаил Лавровский снимался в кино. В частности, исполнил роль Семена Григорьевича в сериале "Дети Арбата" по произведениям Анатолия Рыбакова (2004, режиссер Андрей Эшпай).
Автор книги "От первого лица" (2006).
Член Союза театральных деятелей РФ.
Народный артист СССР (1976).
Награжден орденами Трудового Красного Знамени (1986), Почета (2001), "За заслуги перед Отечеством" IV степени (2021).
Удостоен Ленинской премии (1970), Государственной премии СССР в области литературы, искусства и архитектуры (1977).
Лауреат II Международного конкурса артистов балета в Варне (Болгария, 1965), премии Вацлава Нижинского Парижской академии танца (1972).
Обладатель театральной премии "Золотая маска" в почетной номинации "За выдающийся вклад в развитие театрального искусства" (2021).
Женат вторым браком. Супруга - художник-сценограф Долорес Гарсиа. Сын - театральный режиссер и педагог Леонид Лавровский-Гарсиа (род. 1987). Первой супругой была народная артистка СССР балерина Людмила Семеняка (род. 1952).