Родился 15 февраля 1940 г. в Москве. Его отец - заслуженный деятель искусств РСФСР кинооператор Тимофей Павлович Лебешев (1905-1981).
В 1972 г. Павел Лебешев окончил операторский факультет Всесоюзного государственного института кинематографии (ныне - Всероссийский государственный институт кинематографии им. С. А. Герасимова). Выпускник мастерской заслуженного деятеля искусств РСФСР Анатолия Головни.
С 1957 г. работал на киностудии "Мосфильм" механиком по киноаппаратуре, ассистентом оператора и вторым оператором, в т. ч. под руководством отца. Его первой самостоятельной операторской работой стал короткометражный фильм "Ангел" (1967, режиссер Андрей Смирнов). Картина подверглась цензуре и вышла на экраны лишь через 20 лет.
Известность оператору принесла работа над следующим фильмом Андрея Смирнова - драмой "Белорусский вокзал" (1970).
В дальнейшем Павел Лебешев сотрудничал с режиссерами Никитой Михалковым (1974 - "Свой среди чужих, чужой среди своих", 1975 - "Раба любви", 1977 - "Неоконченная пьеса для механического пианино", 1978 - "Пять вечеров", 1979 - "Несколько дней из жизни И. И. Обломова", 1981 - "Родня", 1983 - "Без свидетелей", 1999 - "Сибирский цирюльник"), Ларисой Шепитько (1976 - "Восхождение"), Сергеем Соловьевым (1980 - "Спасатель", 1982 - "Наследница по прямой", 1983 - "Избранные", 1987 - "Асса", 2000 - "Нежный возраст"), Георгием Данелией (1986 - "Кин-дза-дза!", 1993 - "Настя"), Романом Балаяном (1994 - "Первая любовь"), Сергеем Бодровым (1996 - "Кавказский пленник"), Александром Адабашьяном (2002 - "Азазель"). Последняя операторская работа - исторический фильм "Когда солнце было богом" (2003, Ежи Гофман, Польша).
Павел Лебешев скончался 23 февраля 2003 г. в Москве на 64-м году жизни. Похоронен на столичном Кунцевском кладбище.
Заслуженный деятель искусств РСФСР (1980). Народный артист РФ (1992).
Был награжден орденами "Знак Почета" (1986), "За заслуги перед Отечеством" III и IV степеней (2000, 1996).
Двукратный лауреат Государственной премии РФ в области литературы и искусства (1997 - "Кавказский пленник", 1999 - "Сибирский цирюльник").
Обладатель кинопремии "Ника" в номинации "Лучшая операторская работа" (1996 - "Первая любовь"), премии ТЭФИ в аналогичной категории (2002 - "Азазель").
Был женат на Наталье Лебешевой. Сыновья - Алексей (род. 1964) и Дмитрий (1971-1996).