Родился 6 июня 1931 г. в Москве в семье дипломата. С 1940 г. по август 1945 г. жил в Китае, где работал его отец.
В 1955 г. с отличием окончил машиностроительный факультет Московского высшего технического училища (ныне Московский государственный технический университет) им. Н. Э. Баумана.
Доктор технических наук (в 1959 г. защитил кандидатскую, в 1987 г. - докторскую диссертации). Профессор (1991).
В 1997 г. был избран членом-корреспондентом, в 2003 г. - академиком Российской академии наук (РАН).
С 1955 по 1960 г. работал в московском НИИ-1 Госкомитета Совета министров СССР по авиационной технике (ныне Исследовательский центр им. М. В. Келдыша). Занимался проблемой устойчивости крылатых ракет с учетом упругости их конструкции, а также теорией управления космическими аппаратами под руководством физика Бориса Раушенбаха. При участии Легостаева была разработана первая в стране система активной ориентации космического аппарата - автоматической межпланетной станции "Луна-3" (в 1959 г. эта АМС впервые в мире передала на Землю изображение обратной стороны Луны).
В 1960 г. Виктор Легостаев в составе группы специалистов во главе с Борисом Раушенбахом был переведен в ОКБ-1 в подмосковный г. Калининград (ныне г. Королев), которым руководил Сергей Королев. Участвуя в работах по подготовке первого пилотируемого космического полета, Легостаев предложил систему управления ориентацией корабля-спутника "Восток", на котором в 1961 г. в космос полетел Юрий Гагарин.
В 1961-1974 гг. в ОКБ-1 (впоследствии было переименовано в Центральное конструкторское бюро экспериментального машиностроения, а затем преобразовано в НПО "Энергия") занимал должности и. о. начальника сектора, заместителя начальника, затем начальника отдела, заместителя руководителя комплекса.
В 1974-1989 гг. Легостаев возглавлял комплекс по системам управления головного конструкторского бюро НПО "Энергия". При его участии были разработаны системы ориентации и управления движением многих космических аппаратов, в том числе АМС "Марс, "Венера", разведывательных аппаратов "Зенит", пилотируемых кораблей "Восход", "Союз", орбитальных станций "Салют", "Мир" и др. Он руководил созданием систем автоматического управления сближением и причаливанием пилотируемых "Союзов" и грузовых кораблей "Прогресс" с орбитальными станциями. Являлся одним из технических руководителей программы ЭПАС (советско-американская программа "Союз-Аполлон").
С 1989 г. занимал должность первого заместителя генерального конструктора НПО "Энергия" (в 1991 г. предприятию было присвоено имя Сергея Королева, в 1994 г. оно было преобразовано в Ракетно-космическую корпорацию "Энергия"). Одновременно в 1994-2005 гг. был вице-президентом предприятия. Возглавлял работы по международным проектам "Международная космическая станция", "Морской старт", по созданию телекоммуникационных спутников связи "Ямал-100", "Ямал-200" и др.
6 августа 2014 г. Виктор Легостаев был назначен и. о. генерального конструктора, а 20 сентября того же года - генеральным конструктором РКК "Энергия" им. С. П. Королева. Занимал эту должность вплоть до своей кончины.
Являлся членом Отделения энергетики, машиностроения, механики и процессов управления РАН (секция проблем машиностроения и процессов управления). Входил в состав Совета РАН по космосу.
Преподавал на факультете аэрофизики и космических исследований Московского физико-технического института (МФТИ), заведовал кафедрой "Управление движением" (ныне кафедра "Аэрофизическая механика и управление движением"). Был основателем лаборатории перспективных систем управления, образованной в 2014 г. в МФТИ.
Виктор Легостаев скончался 8 января 2014 г. в Москве, похоронен на Николо-Архангельском кладбище.
Был награжден орденами Трудового Красного Знамени (1961), Ленина (1976), медалями.
Лауреат Ленинской премии (1966; за создание систем управления космических кораблей "Восток" и "Восход"), Государственных премий СССР (1989; за создание системы управления орбитальной станции "Мир") и РФ (1999; "за создание на базе космических технологий комплекса средств протезирования нижних конечностей инвалидов, соответствующего мировому уровню, и его широкое внедрение в практику протезирования"), а также премий правительства РФ в области науки и техники (2003, 2009).
Был удостоен премий РАН: имени Б. Н. Петрова (1995) и имени К. Э. Циолковского (2014).
Заслуженный деятель науки РФ (1996).
Автор и соавтор свыше 300 научных работ и 14 патентов. Среди них "Система одноосной ориентации по Солнцу кораблей-спутников "Восток" (1966), "Автоматическая сборка в космосе" (1969), "Сильно избыточные гиродинные системы космических аппаратов" (1989) и др.
Был женат на Нелли Григорьевне Легостаевой (1937-2010). Сын - Игорь (род. 1959).