Родился 10 июля 1902 г. в дер. Старое Князево Тверского уезда Тверской губернии (ныне дер. Князево Калининского района Тверской области) в бедной крестьянской семье. Отец - Яков Степанович Лемешев - ездил на заработки в Тверь, мать - Акулина Сергеевна Шкаликова - работала на местного помещика.
В 1914 г. Сергей Лемешев окончил 4-летнюю церковно-приходскую школу. Затем уехал к дяде в Санкт-Петербург обучаться сапожному делу. Именно в Петербурге, по воспоминаниям самого Лемешева, у него появилась мечта выступать на сцене.
После Февральской революции 1917 г. он был вынужден вернуться в родную деревню. Затем устроился сапожником в артель дер. Стренево. Там же в 1918 г. стал членом сельского театрального кружка. Одно из выступлений Лемешева посетил Николай Квашнин, бывший московский архитектор и владелец местной усадьбы, ставший после прихода советской власти директором художественно-ремесленной школы для сельской молодежи. Услышав уникальный по тембру голос молодого Лемешева, Квашнин предложил ему брать уроки вокала и нотной грамоты у своей супруги, профессиональной оперной певицы. Сергей Лемешев учился, слушая записи на граммофонных пластинках. Именно тогда он выучил арию Ленского из оперы Петра Чайковского "Евгений Онегин", которая впоследствии станет самой популярной в его репертуаре.
В декабре 1919 г. 17-летний Лемешев пешком дошел до Твери (более 40 км), чтобы принять участие в концерте самодеятельности. Там его прослушал педагог и музыкант Николай Сидельников. С одобрения последнего Сергей Лемешев с успехом выступил на сцене рабочего клуба им. Третьего Интернационала.
В мае 1920 г. поступил в Твери на кавалерийские курсы Рабоче-крестьянской Красной армии. Одновременно продолжал заниматься вокалом, брал уроки в музыкальной школе у Николая Сидельникова, пел в клубном хоре.
В начале 1921 г. по ходатайству губернского подотдела искусств командование курсов отправило Лемешева на учебу в Москву.
В 1921 г. он был принят в Московскую консерваторию, пройдя конкурс из 500 человек на 25 мест. Учился в классе профессора Назария Райского, вокального педагога. Окончил консерваторию в 1925 г., защитив диплом (государственные экзамены сдавать отказался).
Свой первый сольный концерт дал в 1924 г. на сцене Государственного института театрального искусства (ныне Российский институт театрального искусства - ГИТИС).
С 1924 г. по май 1926 г. был членом оперной студии Большого театра под руководством Константина Станиславского (ныне Московский музыкальный театр им. К. С. Станиславского и В. И. Немировича-Данченко).
В 1926-1927 гг. выступал в Государственном оперном театре им. А. В. Луначарского в Свердловске (ныне Екатеринбургский театр оперы и балета), в 1927-1929 гг. - в Русской опере при Китайско-Восточной железной дороге в Харбине. В 1929-1931 гг. был солистом Тифлисского театра оперы и балета (ныне Грузинский театр оперы и балета им. З. Палиашвили).
В 1931 г. успешно дебютировал на сцене Большого театра в роли Царя Берендея в опере "Снегурочка" Николая Римского-Корсакова, после чего стал солистом театра. Благодаря исключительным вокальным данным, неповторимому тембру голоса, обаянию и особой лирической манере исполнения молодой певец быстро приобрел огромную популярность. Вплоть до 1957 г. Сергей Лемешев оставался ведущим тенором Большого театра наравне с Иваном Козловским.
В 1939 г. певец снялся в кино - в комедии "Музыкальная история" режиссеров Александра Ивановского и Герберта Раппапорта, которая вышла на экраны в 1940 г. Лемешев сыграл главную роль Петра Говоркова, таксиста, который мечтает стать оперным певцом.
После начала Великой Отечественной войны основной состав Большого театра эвакуировали в Куйбышев (ныне Самара), Лемешев остался с частью труппы в Москве. Продолжал работу в филиале театре, выступал с фронтовыми бригадами в воинских частях и госпиталях.
Осенью 1941 г. сильно простудился, заболел воспалением легких. В начале 1941 г. случился рецидив, у Лемешева открылся туберкулез. Врачи были вынуждены "отключить" правое легкое и запретили ему петь. Однако певец не смог оставить сцену, вплоть до 1948 г., несмотря на пневмоторакс легкого, давал по несколько спектаклей в месяц.
Сергей Лемешев исполнил почти все ведущие лирические партии в произведениях русской и западноевропейской классики, всего - более 30. Среди них Герцог в "Риголетто" и Альфред в "Травиате" Джузеппе Верди, граф Альмавива в "Севильском цирюльнике" Джоаккино Россини, Рудольф в "Богеме" Джакомо Пуччини, Индийский гость в "Садко", Моцарт в "Моцарте и Сальери" и Левко в "Майской ночи" Николая Римского-Корсакова, Ромео в "Ромео и Джульетте" и Фауст в одноименной опере Шарля Гуно, Владимир Игоревич в "Князе Игоре" Александра Бородина, Афанасий Иванович в "Сорочинской ярмарке" Модеста Мусоргского и др.
В качестве оперного режиссера Лемешев дебютировал в 1951 г. постановкой оперы "Травиата" Джузеппе Верди на сцене Ленинградского малого оперного театра (ныне Михайловский театр). В 1957 г. стал исполнителем заглавной роли и режиссером-постановщиком оперы Жюля Массне "Вертер" на сцене филиала Большого театра.
Самой любимой своей ролью Сергей Лемешев называл Ленского в "Евгении Онегине", которая, по словам певца, "целиком заполнила его жизнь". Он исполнял партию Ленского 501 раз, последний раз она прозвучала 30 июня 1972 г. в Большом театре в преддверии 70-летнего юбилея тенора.
Сергей Лемешев часто выступал с камерными концертными программами - народными песнями и романсами, в том числе произведениями Франца Шуберта, Эдварда Грига, Сергея Рахманинова, Михаила Глинки, Николая Римского-Корсакова и др. Был единственным, кто исполнил все сто романсов Петра Чайковского (1939-1940; цикл из пяти концертов). Выступал также на эстраде с песнями советских композиторов Матвея Блантера ("Моя любимая"), Тихона Хренникова ("Песня о Москве"), Бориса Мокроусова ("Одинокая гармонь"), Никиты Богословского ("Аленушка", "Помнишь, мама?") и др.
После окончания в 1957 г. карьеры солиста Большого театра Сергей Лемешев продолжал периодически выступать в ГАБТ. Оставил сцену театра 13 ноября 1965 г., исполнив в 500-й раз партию Ленского в "Евгении Онегине".
В 1958-1959 гг. занимал пост заместителя директора Большого театра.
Преподавал в Московской консерватории, где руководил кафедрами оперной подготовки (1959-1961) и сольного пения (1969-1971). Одновременно возглавлял оперную студию при консерватории (1959-1962).
Работал на Всесоюзном радио, был руководителем его вокальной группы, готовил и вел цикл передач "Любимые арии и сцены из опер".
Принимал участие в фильмах-операх "Демон" (1960; князь Синодал), "Дубровский" (1961; Владимир Дубровский), в озвучивании мультфильма "Квартет" (1947; партия Соловья).
Сергей Лемешев скончался 26 июня 1977 г. в Москве на 75-м году жизни. Похоронен на Новодевичьем кладбище столицы.
Член КПСС (с 1948 г.).
Заслуженный артист РСФСР (1937).
Народный артист СССР (1950).
Лауреат Сталинской премии второй степени (1941) "за большие достижения в области театрально-вокального и киноискусства".
Был награжден тремя орденами Ленина (1951, 1972, 1976), орденом "Знак Почета" (1937), медалями.
Автор книги "Путь к искусству" (1968), очерков о Леониде Собинове, Антонине Неждановой, Надежде Обуховой, Марии Максаковой и других оперных певцах, статей и биографических записок.
Певец был пять раз женат. В 1924 г. он женился на дочери своего консерваторского учителя - Наталье Ивановне Соколовой (1906-1964). Спустя пять лет его второй супругой стала вдова морского офицера Алиса Михайловна Корнева-Багрин-Каменская (1897-1989), этот брак продлился около 11 лет. Третьей женой Лемешева была актриса МХАТ Любовь Арнольдовна Варзер, четвертой - оперная певица Ирина Ивановна Масленникова (1918-2013). Пятой женой Сергея Лемешева стала Вера Николаевна Кудрявцева (1911-2009), бывшая солистка Ленинградского малого оперного театра. Они прожили вместе 27 лет до самой смерти Лемешева (официально брак был заключен в 1972 г.).
Дочь Сергея Лемешева от четвертого брака - Мария Сергеевна Лемешева (род. 1944), оперная певица (сопрано), народная артистка РФ, бывшая солистка Камерного музыкального театра оперы им. Б. А. Покровского и падчерица режиссера Бориса Покровского.
В 1978 г. в честь певца был назван астероид главного пояса 4561 Lemeshev. Памятник Сергею Лемешеву был установлен в 2007 г. в Твери (скульптор Андрей Балашов). Именем певца названа детская музыкальная школа в Москве.
На родине тенора в дер. Князево Тверской области с 1987 г. проходит музыкальный фестиваль "Вижу чудное приволье", посвященный Сергею Лемешеву (Лемешевский фестиваль). Там же в 1986 г. был основан мемориальный музей певца (ныне филиал Тверского государственного объединенного музея). У его здания в 1999 г. установлен бюст Сергея Лемешева (скульптор Юрий Карпенко).