Родился 27 февраля 1947 г. в Москве. В подростковом возрасте посещал занятия в студии художественного слова при Дворце пионеров и школьников им. Н. К. Крупской в переулке Стопани (ныне Дворец творчества детей и молодежи "На Стопани", переулок Огородная Слобода), которой руководила ученица Константина Станиславского и Евгения Вахтангова Анна Бовшек. В старших классах самостоятельно организовал школьную театральную студию, ставил в ней спектакли и выступал в качестве актера.
В 1968 г. Авангард Леонтьев окончил актерский факультет Школы-студии им. Вл. И. Немировича-Данченко при Московском художественном академическом театре СССР им. М. Горького (ныне Школа-студия, институт, им. Вл. И. Немировича-Данченко при Московском художественном театре им. А. П. Чехова). Выпускник курса народного артиста СССР Павла Массальского.
В 1968-2004 гг. Авангард Леонтьев был актером Московского театра "Современник". Исполнял роли в спектаклях: "На дне" по пьесе Максима Горького, "С вечера до полудня" и "Вечно живые" по произведениям Виктора Розова, "Погода на завтра" по пьесе Михаила Шатрова, "Двенадцатая ночь" по комедии Уильяма Шекспира, "Вишневый сад" по пьесе Антона Чехова, "Не стреляйте в белых лебедей" по произведению Бориса Васильева.
В 1987 г. в Театре-студии под руководством Олега Табакова (ныне Московский театр Олега Табакова) в качестве режиссера совместно с руководителем театра осуществил постановку "Полоумный Журден. Мольериана", а также исполнил в ней главную роль. Самостоятельными режиссерскими работами Авангарда Леонтьева в "Табакерке" стали спектакли "Прищучил" по пьесе Барри Киффа (редакция 1991 г.) и "Не все коту масленица" по пьесе Александра Островского (1999). Как ассистент режиссера работал с Никитой Михалковым над спектаклем "Механическое пианино", поставленным в римском театре "Арджентина" (1987, Италия), и с Андреем Кончаловским над спектаклем "Чайка" по пьесе Антона Чехова, поставленным в парижском театре "Одеон" (1988-1989, Франция).
В 1990-2000-х гг. Авангард Леонтьев был задействован в нескольких антрепризных постановках.
В 2001-2012 гг. исполнял на сцене Московского художественного театра (МХТ) им. А. П. Чехова роль Ричарда Уилли в постановке "№13" по комедии Рэя Куни.
С 2004 г. Авангард Леонтьев состоит в актерской труппе МХТ им. А. П. Чехова. В текущем театральном сезоне занят в спектаклях: "Лес" и "Правда - хорошо, а счастье лучше" по пьесам Александра Островского, "Шинель" по повести Николая Гоголя, "Заговор чувств" по произведениям Юрия Олеши, "Игра в "Городки" по рассказам Юрия Стоянова. Также выступает с сольной чтецкой программой "Шедевры русской прозы".
Актер участвует в постановках Московского театра Олега Табакова - "Женитьба" по произведению Николая Гоголя и "Ночь в отеле" по пьесе Терри Джонсона Insignificance.
В феврале 2022 г. в Государственном театре наций (Москва) состоялась премьера документального спектакля "Наше все… Ваш А. Солженицын" с Авангардом Леонтьевым в главной роли.
Авангард Леонтьев снимался в фильмах и сериалах: "Смешные люди" по мотивам рассказов Антона Чехова (1977, режиссер Михаил Швейцер), "Несколько дней из жизни И. И. Обломова" по роману Ивана Гончарова "Обломов" (1979, Никита Михалков), "Один и без оружия" (1984, Владимир Хотиненко и Павел Фаттахутдинов), "Серп и молот" (1994, Сергей Ливнев), "Утомленные солнцем" (1994, Никита Михалков), "Пятый угол" (2001, Сергей Газаров и Джаник Файзиев), "Превращение" по новелле Франца Кафки (2003, Валерий Фокин), "Герой нашего времени" по роману Михаила Лермонтова (2006, Александр Котт), "Солнечный удар" по мотивам произведений Ивана Бунина (2014, Никита Михалков), "Время первых" (2017, Дмитрий Киселев). В общей сложности участвовал в съемках более 40 фильмов и сериалов, также занимался озвучиванием мультфильмов.
С 1974 г. Авангард Леонтьев работал театральным педагогом в драматической студии для старшеклассников при Дворце пионеров и школьников Бауманского района Москвы.
С 1976 г. в Государственном институте театрального искусства им. А. В. Луначарского (ныне Российский институт театрального искусства - ГИТИС) и с 1985 г. в Школе-студии МХАТ преподавал на курсах под руководством Олега Табакова. Среди его учеников - народные артисты России Владимир Машков, Евгений Миронов и Алексей Серебряков.
С 1989 по 2001 г. руководил актерскими курсами в Школе-студии МХАТ, подготовил три выпуска. Учениками Авангарда Леонтьева были Анастасия Заворотнюк, Олеся Судзиловская, Максим Дрозд и другие известные актеры.
Член Союза кинематографистов РФ.
Народный артист РФ (1995).
Авангард Леонтьев награжден орденами Дружбы (2009), Почета (2018), "За заслуги в культуре и искусстве" (2023). Отмечен благодарностью президента России (2012).
Лауреат Государственной премии РФ в области литературы и искусства за 1994 г.
Авангард Леонтьев является составителем сборника "Великое культурное противостояние. Книга об Анне Гавриловне Бовшек" (2009).