Родился 18 октября 1847 г. (по старому стилю 6 октября 1847 г.) в селе Стеньшино (Липецкий уезд, Тамбовская губерния, Российская империя; ныне Петровский район, Тамбовская область, РФ), в родовом имении дворян Лодыгиных.
В 1865 г. окончил Воронежский кадетский корпус, в 1868 г. - Московское юнкерское училище.
В 1869 г., прослужив обязательный срок, вышел в отставку с военной службы. Затем работал простым рабочим на Тульском оружейном заводе. В свободное время занимался изобретательством, в конце 1860-х гг. разработал конструкцию летательного аппарата с приводом винтов от электродвигателя.
С 1870 г. жил в Санкт-Петербурге. Работал техником в Обществе нефтяного газа "Сириус". В тот же период занялся разработкой лампы накаливания для электрического освещения.
В качестве вольнослушателя посещал лекции в Санкт-Петербургском университете (ныне Санкт-Петербургский государственный университет) и занятия по физике, химии, механике в Санкт-Петербургском практическом технологическом институте (СПбПТИ, ныне Санкт-Петербургский государственный технологический институт со статусом технического университета).
В 1872 г. Александр Лодыгин изобрел электрическую лампу накаливания с угольной нитью. Сам принцип действия лампы был известен до него, но Лодыгин первым создал лампу накаливания как практическое средство освещения. В августе 1873 г. он впервые публично продемонстрировал свое изобретение в СПбПТИ. В 1873-1874 гг. проводил в Санкт-Петербурге демонстрации уличного освещения со своими лампами накаливания. Запатентовал свое изобретение в России (1874), а также в Австро-Венгрии, Бельгии, Великобритании, Франции и ряде других стран.
В 1874 г. стал одним из организаторов Товарищества электрического освещения "А. Н. Лодыгин и Кo", но оно проработало недолго.
В 1878-1884 гг. работал инженером на электромеханическом заводе в Санкт-Петербурге, принадлежавшем Товариществу электрического освещения "П. Н. Яблочков-изобретатель и Кo". Попытался там организовать серийное производство ламп накаливания, но смог выпустить только несколько опытных партий.
В 1880 г. выступил одним из основателей электротехнического отдела Русского технического общества.
В 1884 г. Александр Лодыгин, имевший связи с революционерами-народниками уехал за границу, опасаясь, что его могут коснуться политические репрессии. Несколько лет он работал в Париже, где наладил производство ламп накаливания. В 1894 г. организовал там ламповую фирму "Лодыгин и де Лиль".
В 1888 г. переехал в США. В 1900 г. участвовал во Всемирной выставке в Париже.
В 1890-х гг. изобрел несколько типов ламп накаливания с металлической нитью. Лодыгин первым предложил использовать в лампах накаливания вольфрамовую нить, а также закручивать нить накаливания в форме спирали. Свои патенты он продал американской компании General Electric ("Дженерал электрик").
В 1902-1905 гг. работал инженером по освещению при строительстве метрополитена в Нью-Йорке.
В 1906 г. в США под его руководством был построен завод по электрохимическому получению вольфрама и других тугоплавких металлов.
В 1907 г. Александр Лодыгин вернулся в Россию. Преподавал в Электротехническом институте императора Александра III в Санкт-Петербурге (ныне Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ" им. В. И. Ульянова, Ленина), работал в строительном управлении Николаевской железной дороги.
После Февральской революции 1917 г. покинул Россию и уехал в США. Занимался конструированием и строительством электрических печей, установок для плавки металлов и руд.
Был приглашен советскими властями для участия в разработке плана ГОЭЛРО (1920), но из-за болезни не смог поехать в РСФСР и отклонил приглашение.
Александр Лодыгин скончался 16 марта 1923 г. в Нью-Йорке на 76-м году жизни. Похоронен на Эвергринском кладбище в Бруклине.
Был награжден императорским орденом Святого Станислава III степени (за научно-технические достижения).
Лауреат Ломоносовской премии (1874, за изобретение лампы накаливания) Императорской Санкт-Петербургской академии наук (ныне Российская академия наук).
Являлся действительным членом Русского технического общества (1880). В 1899 г. Электротехнический институт присвоил ему звание "Почетный инженер-электрик".
Был женат на дочери немецкого инженера Алме Шмидт. В браке с ней родились две дочери - Маргарита и Вера.
В селе Стеньшино, где родился Лодыгин, установлен памятник. Его имя носят улицы в родном селе и ряде других городов России, переулок в Санкт-Петербурге. В Тамбове открыта Комната-музей А. Н. Лодыгина (1988).