Родился 30 сентября 1950 г. в Москве.
В 1973 г. с отличием окончил физический факультет (кафедра биофизики) Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова. В 1991 г. прошел международный курс ЮНИДО по управлению исследованиями и инновациями (UNIDO International Course on Research and Innovation Management) в Италии.
Доктор биологических наук. В 1977 г. на физическом факультете МГУ защитил диссертацию на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук на тему "Некоторые физические аспекты теплоустойчивости белков". В 1995 г. на биологическом факультет МГУ - диссертацию на соискание степени доктора биологических наук (тема: "Термостабильность глобулярных белков и их комплексов").
В 2002 г. ему было присвоено звание профессора по специальности "молекулярная биология".
В 2003 г. Александр Макаров был избран членом-корреспондентом, в 2008 г. - академиком Российской академии наук (РАН). Член Отделения биологических наук РАН.
После окончания МГУ, в 1973-1976 гг. был аспирантом Института молекулярной биологии Академии наук СССР (ныне ИМБ им. В. А. Энгельгардта РАН, Москва). Затем работал в ИМБ младшим, старшим научным сотрудником, заведующим лабораторией. Впоследствии занимал должность заместителя директора института Андрея Мирзабекова, курировал научную работу.
После кончины академика Мирзабекова, с 2003 г. Александр Макаров был и. о. директора Института молекулярной биологии им. В. А. Энгельгардта РАН. В 2004-2020 гг. - директор, с декабря 2020 г. - научный руководитель ИМБ РАН. Параллельно заведует лабораторией конформационного полиморфизма белков в норме и патологии института.
Одновременно с 2004 г. является профессором кафедры молекулярной и клеточной биологии Московского физико-технического института.
Член президиума РАН. В сентябре 2022 г. в ходе очередных выборов руководства Российской академии наук был вновь избран членом президиума РАН.
В марте 2017 г. Александр Макаров был одним из трех зарегистрированных кандидатов на пост президента Российской академии наук, вместе с действующим главой РАН Владимиром Фортовым и академиком Владиславом Панченко. Однако тогда выборы не состоялись, т. к. все кандидаты отказались баллотироваться из-за "нечетко прописанной" процедуры выборов. В результате новый президент РАН был избран в сентябре того же года, но Макаров в выборах уже не участвовал.
Являлся членом комиссии по биофизической химии Международного союза теоретической и прикладной химии (1990-1994), содиректором российско-французской лаборатории в области протеомики (2003-2010).
В качестве приглашенных исследователя и профессора работал в ряде университетов США и Франции, в т. ч. в Калифорнийском университете в Сан-Франциско (США, 1991), университете Брандейса в Уолтеме (штат Массачусетс, США; 1993, 1995), университете Экс-Марсель (Франция; 1994-1998, 1999-2001), Техасском университете A&M в г. Колледж-Стейшен (США; 2000-2002, 2004-2006) и др.
Член Европейского кальциевого общества (с 1997 г.).
Член совета научных советников Международного центра по генетической инженерии и биотехнологии ООН в Триесте (Италия, с 2013 г.).
Главный редактор журнала "Молекулярная биология" РАН (с 2008 г.). Входит в состав редколлегий научных изданий "Кристаллография" (с 2005 г.), "Биофизика" (с 2013 г.) и ряда зарубежных журналов.
Был членом Совета генеральных конструкторов, ведущих ученых и специалистов в области высокотехнологичных секторов экономики при председателе правительства РФ (2008-2012) и Совета при президенте РФ по науке и образованию (2013-2018).
Александр Макаров - специалист в области биомедицины, биоинженерии и биотехнологии, автор более 200 статей и патентов. Ученому принадлежат приоритетные исследования молекулярных механизмов стабильности белков, взаимосвязи между структурой и функциями белков, передачи сигнала в биологических системах в норме и при патологиях, белковых инструментов воздействия на злокачественные клетки. Макаров был одним из основных разработчиков государственного научного проекта по изучению генома человека (1988-1989), являвшегося частью международной программы "Геном человека". Под его руководством была разработана и запатентована более чем в 10 странах первая в мире технология трехмерных биологических микрочипов, позволяющих исследовать любой биологический образец одновременно по многим параметрам (инновационный диагностический метод, заменяющий собой лабораторию). На основе биологических микрочипов в России созданы тест-системы для медицинской диагностики лекарственно-устойчивых форм возбудителя туберкулеза, гепатита С, онкологических заболеваний, для идентификации генотипа и определения вирулентных свойств вируса гриппа, установления личности по анализу ДНК и выявления источников аллергических заболеваний. В 2020 г. институт под руководством Александра Макарова занимался созданием высокоточных тестов на антитела к новому коронавирусу, а также исследованием комбинированной терапии "цитокинового шторма" - тяжелого осложнения коронавирусной инфекции.
Награжден орденами Почета (2010), Александра Невского (2017), "За заслуги перед Отечеством" IV степени (2024).
Кавалер ордена Почетного легиона (Франция, 2017).
Отмечен наградами РАН: премией им. Ю. А. Овчинникова (2018, за цикл работ "Роль структурно-функциональной модификации ферментов в норме и патологии") и золотой медалью им. В. А. Энгельгардта (2019, за цикл работ "Молекулярные механизмы церебрального амилоидогенеза как новая платформа для диагностики и терапии болезни Альцгеймера").