Родился 20 ноября 1944 г. в с. Остафьево (Московская область, ныне - в составе Москвы) в семье военнослужащего. С 1951 г. проживал с родителями в Челябинске.
В 1967 г. Борис Морозов окончил механико-технологический факультет Челябинского политехнического института (ныне - Южно-Уральский государственный университет). Будучи его студентом, работал на Челябинском металлургическом комбинате в кузнечно-прессовом цехе. В годы учебы вместе со старшим братом Анатолием создал студенческий театр "Манекен".
В 1968 г. Борис Морозов поступил в Москве на режиссерский факультет Государственного института театрального искусства им. А. В. Луначарского (ныне - Российский институт театрального искусства - ГИТИС). Окончил его в 1973 г. Выпускник мастерской народного артиста СССР Андрея Попова.
В 1973-1977 гг. - режиссер Центрального академического театра Советской армии (ныне - Центральный академический театр Российской армии, ЦАТРА). Среди его постановок: "Когда придет мой час" по пьесе Инги Гаручавы и Петра Хотяновского, "Птицы нашей молодости" по произведению Иона Друцэ (совместно с Борисом Львовым-Анохиным), "Ночью без звезд" по пьесе Александра Штейна, "Спутники" по произведению Веры Пановой.
В 1977-1981 гг. Борис Морозов был режиссером Московского драматического театра им. К. С. Станиславского (ныне - Московский академический музыкальный театр
им. народных артистов К. С. Станиславского и Вл. И. Немировича-Данченко). Им были поставлены спектакли "Сирано де Бержерак" по произведению Эдмона Ростана и "Брысь, костлявая, брысь!" по пьесе Саулюса Шальтяниса.
В 1982 г. поставил в Московском академическом театре им. Владимира Маяковского спектакль "Смотрите, кто пришел!" по пьесе Владимира Арро.
В 1983-1988 гг. - главный режиссер Московского драматического театра им. А. С. Пушкина. Среди его работ: "Луна в форточке" по мотивам рассказов Михаила Булгакова, "Я - женщина" и "Крик" по произведениям Виктора Мережко, "Мотивы" по пьесе Михаила Ворфоломеева.
В 1988-1995 гг. Борис Морозов работал в Государственном академическом Малом театре, где поставил спектакли: "Леший" по комедии Антона Чехова, "И аз воздам" по пьесе Сергея Кузнецова, "Горячее сердце" по произведению Александра Островского, "Пир победителей" по пьесе Александра Солженицына. В эти же годы осуществил ряд постановок в театрах ФРГ (Хайльбронн, "Леший" и "Аз воздам"), США (Нью-Йорк, "Зойкина квартира" по произведению Михаила Булгакова), Польши (Варшава, "Женитьба" по комедии Николая Гоголя), Израиля (Тель-Авив, "Чайка" по пьесе Антона Чехова), Республики Корея (Сеул, "Бесприданница" по произведению Александра Островского).
С 1995 г. по 2020 г. Борис Морозов являлся главным режиссером Центрального академического театра Российской армии. Им были поставлены спектакли: "Много шума из ничего", "Отелло" и "Гамлет" по пьесам Уильяма Шекспира, "На дне" по произведению Максима Горького, "Сердце не камень" по комедии Александра Островского, "Давным-давно" по пьесе Александра Гладкова, "Скупой" по комедии Мольера, "Севастопольский марш" по мотивам "Севастопольских рассказов" Льва Толстого, "Одноклассники" по произведению Юрия Полякова, "Барабанщица" по пьесе Афанасия Салынского.
В 2005 г. в Башкирском государственном театре оперы и балета (Уфа) поставил оперу "Снегурочка" Николая Римского-Корсакова, в 2008 г. в Екатеринбургском государственном академическом театре оперы и балета - "Хованщину" Модеста Мусоргского.
Борис Морозов снимался в кино. Среди его ролей: секретарь райкома Геннадий Веретенников в драме "Вдовы" (1976, режиссер Сергей Микаэлян), пожарный Юрий Афанасьев в фильме "Садись рядом, Мишка!" по мотивам повести Юрия Германа "Вот как это было" (1977, Яков Базелян), художник Александр Николаенко в музыкальной мелодраме "Карнавал" (1981, Татьяна Лиознова).
Борис Морозов ведет преподавательскую деятельность на актерском факультете Российского института театрального искусства - ГИТИС. Руководитель мастерской, профессор.
Член Союза театральных деятелей РФ.
Заслуженный деятель искусств России (1993). Народный артист РФ (1998).
Лауреат театральной премии "Хрустальная Турандот" в номинации "Лучшая режиссерская работа" (1998, "На дне").
Дочери - Екатерина (род. 1973, театровед) и Татьяна (род. 1982, актриса Центрального академического театра Российской армии).