Родился 16 декабря 1930 г. в гор. Алма-Ате (Казахская ССР, ныне Казахстан) в семье военного.
В 1953 г. окончил с отличием Московский авиационный институт им. Серго Орджоникидзе (МАИ, ныне Московский авиационный институт - национальный исследовательский университет). Кандидат технических наук (1971). Профессор МАИ.
После выпуска из вуза был направлен на 30-й авиастроительный завод (позднее - Московский машиностроительный завод "Знамя Труда", затем площадка АО "РСК "МиГ" в составе "Объединенной авиастроительной корпорации", ОАК). Работал на этом предприятии до 1956 г. контрольным мастером, технологом, заместителем начальника цеха.
В сентябре 1956 г. перешел на работу в Летно-исследовательский институт (ЛИИ, ныне Летно-исследовательский институт им. М. М. Громова, г. Жуковский Московской обл.). В ряде источников указывается, что Юрия Нагаева пригласил в ЛИИ Гай Северин (в дальнейшем - конструктор скафандров советских космонавтов), на тот момент занимавший пост начальника лаборатории средств аварийного покидания летательных аппаратов.
В 1956-1974 гг. Юрий Нагаев работал в ЛИИ инженером, старшим инженером, начальником сектора, заместителем начальника 2-го отделения (специализировалось на летных испытаниях). В первой половине 1970-х гг. под руководством Нагаева ежегодно выполнялось порядка 2 тыс. испытательных полетов.
В 1974-1984 гг. возглавлял 12-е отделение ЛИИ (средства жизнеобеспечения). Руководил научными исследованиями в области повышения переносимости летчиками перегрузок при ведении воздушного боя на высокоманевренных истребителях.
С 1984 по 1996 г. занимал должность главного инженера - заместителя начальника ЛИИ. С 1980 г. по совместительству занимался научной и педагогической работой в МАИ на факультете "Стрела".
Юрий Нагаев является специалистом в области систем жизнеобеспечения экипажей летательных аппаратов. Участвовал в создании всережимных катапультных кресел, которые с 1964 г. внедрялись на советских боевых самолетах разработки конструкторских бюро Артема Микояна, Андрея Туполева и Павла Сухого. Такие кресла позволяют экипажу аварийного самолета спастись во всем диапазоне полетных режимов: на предельно малых высотах, на скоростях около 1,2 тыс. км/ч, на разбеге и пробеге, а также на высотах, близких к потолку полета.
В 1991 г. в составе группы заслуженных деятелей аэрокосмической отрасли Юрий Нагаев выдвинул предложение регулярно проводить в СССР международные авиакосмические салоны на главном испытательном аэродроме в Жуковском. В августе 1992 г. состоялась первая такая выставка - "Мосаэрошоу-92". В дальнейшем она развилась в Международный авиационно-космический салон (МАКС).
В 1992-2003 гг. - генеральный директор, в 2006-2010 гг. президент ОАО (ныне АО) "Авиасалон", отвечающего за проведение МАКС.
По состоянию на 2020 г. является научным консультантом авиасалона МАКС и ЛИИ.
Лауреат Ленинской премии (1965 г., в составе группы конструкторов, "за творческое участие в разработке и внедрение в эксплуатацию всережимных катапультных установок"). Награжден орденами Трудового Красного Знамени, Дружбы народов, "За заслуги перед отечеством IV" степени, медалями.
Почетный авиастроитель. Почетный гражданин г. Жуковского. В 1985-1995 гг. трижды избирался депутатом Жуковского городского совета народных депутатов. Был членом исполкома городского совета, заместителем председателя совета директоров города.
Автор более 40 научных статей, изобретений, а также книг "МАКС в России: дорогами борьбы и побед (2005) и "МАКС в России: от "Мосаэрошоу-92" до "ТВК-Россия" (2009).