Родился 15 сентября 1941 г. в д. Андреевка Головинщинского района (ныне - село Каменского района) Пензенской обл., куда из Москвы были эвакуированы его мать Бася Гиршевна Кричевская (1912-2001) и старший брат Григорий. Отец Берко (Борис) Лейбович Норштейн (1905-1956) – участник Великой Отечественной войны. После войны семья проживала в Москве, отец работал наладчиком деревообрабатывающих станков, мать - педагогом.
В 1948-1958 гг. Юрий учился в столичной средней общеобразовательной школе номер 606, параллельно в 1956-1958 гг. - в Детской художественной школе Краснопресненского района Москвы. По окончании школы планировал заниматься живописью и пытался поступать сразу в несколько художественных вузов, но не был принят. В 1959 г. поступил на двухгодичные курсы мультипликаторов при киностудии "Союзмультфильм", которые окончил в 1961 г.
В 1958-1959 гг. был столяром-сколотчиком на Московском мебельно-сборочном комбинате №2.
В период с 1961 г. по 1973 г. работал на "Союзмультфильме" в качестве художника-мультипликатора. Участвовал в создании более 50 фильмов, в т. ч. картин "Левша" режиссера Ивана Иванова-Вано, "Варежка" и "Чебурашка" Романа Качанова, "Каникулы Бонифация" Федора Хитрука и цикла фильмов по рисунком Александра Пушкина ("Я к вам лечу воспоминаньем...", "И с вами снова я...", "Осень") режиссера Андрея Хржановского.
В 1968 г. состоялся режиссерский дебют Норштейна - в соавторстве с художником Аркадием Тюриным он снял новаторский для своего времени мультфильм "25-е, первый день" о начале Октябрьской революции; эстетика авангардного плаката сочеталась в этой ленте с традициями живописи и графики начала XX века.
С 1973 г. по н. в. - режиссер мультипликационных фильмов (до 1989 г. работал на "Союзмультфильме", позднее и на других студиях). Снял такие картины, как "Сеча при Керженце" (1971, совместно с Иваном Ивановым-Вано), "Лиса и заяц" (1973), "Цапля и журавль" (1974) и др.
Наибольшую известность принесли Норштейну мультфильмы "Ежик в тумане" (1975) и "Сказка сказок" (1979), удостоенные многочисленных призов на кинофестивалях. Впоследствии работал над рекламными роликами (цикл "Русский сахар", 1994), заставкой к телепрограмме "Спокойной ночи, малыши" (1999), фильмом по мотивам хокку поэта Мацуо Басё для японского анимационного альманаха "Зимние дни" (2003) и др. В 1981 г. начал создавать фильм по повести Николая Гоголя "Шинель", работу над которым продолжает и в настоящее время.
В 1976-1996 гг. преподавал на Высших курсах сценаристов и режиссеров (отделение режиссуры анимационного кино).
В 1990 г. организовал анимационную студию "Артель".
С 1992 г. по 2006 г. - сотрудник Международного фонда развития кино и телевидения для детей и юношества ("Фонд Ролана Быкова").
В 1993 г. совместно с мультипликаторами Андреем Хржановским, Эдуардом Назаровым и Федором Хитруком и при поддержке Госкино организовал на основе анимационного отделения Высших режиссерских курсов школу-студию "ШАР" ("Школа аниматоров-режиссеров").
В 2000 г. основал "Фонд Юрия Норштейна", куда в качестве юридического лица перешла студия "Артель".
В 2010 г. вошел в состав учредителей Союза кинематографистов и профессиональных кинематографических организаций и объединений России (Киносоюз, "альтернативный Союз кинематографистов").
Юрий Норштейн владеет различными техниками мультипликации - от рисованного и кукольного фильма до многоярусной перекладки, придающей мультфильмам эффект объемного изображения; при этом режиссер принципиально не пользуется компьютерной анимацией. Часто строящиеся на сказочных сюжетах, картины Норштейна пронизаны философским смыслом, глубоко лиричны и в значительной мере обращены ко взрослой зрительской аудитории.
Ленты Норштейна отмечены более чем 30 премиями отечественных и зарубежных международных кинофестивалей (в Лилле, Анси, Нью-Йорке, Мельбурне, Сиднее, Загребе, Лондоне, Тегеране, Оттаве, Чикаго, Тампере, Оденсе и др.).
Выставки работ режиссера в разные годы проходили в московском Музее кино (2000), Отделе личных коллекций ГМИИ им. А.С. Пушкина (Москва, 2005), Государственном музее Востока (Москва, 2007-2008), музее анимационной студии "Гибли" (Митака, Япония, 2003-2004), московской галерее Альтмана (2016) и др.
Народный артист Российской Федерации (1996). Лауреат Государственной премии СССР (1979, за фильмы "Лиса и заяц", "Цапля и журавль", "Ежик в тумане"), премии им. А. Тарковского "За авторский вклад в развитие искусства" (1989), российских премий "Триумф" (1995) и "Своя колея" (2000). Кавалер французского Ордена искусства и литературы (1991), японского Ордена восходящего солнца (2004).
Почетный профессор Всероссийского государственного института кинематографии им. С.А. Герасимова (ВГИК, Москва). Почетный доктор изящных искусств Школы дизайна Род-Айленда (Провиденс, США, 2005).
Автор ряда публикаций об искусстве анимации (в т. ч. в сборнике "Мудрость вымысла. Мастера мультипликации о себе и своем искусстве", 1983), книг "Сказка сказок" (2005, совместно с супругой Франческой Ярбусовой) и "Снег на траве" (2008).
Супруга - Франческа Альфредовна Ярбусова, является соавтором фильмов Норштейна с 1970-х гг.; художник-постановщик мультипликационных фильмов. Дети - Борис (род. в 1968, иконописец) и Екатерина (род. в 1970).